数学2 最大最小・解の個数問題 1 解説

方針・初手

三角関数の種類と角度が混在しているため、まずはこれらを統一することを考える。半角の公式や2倍角の公式を用いて、角度を $2\theta$ に統一し、$\cos 2\theta$ の2次関数として扱う方針が基本である。あるいは、角度を $\theta$ に統一し、$\sin^2 \theta$ の2次関数として扱うことも可能である。変数を置き換えた際は、新しい変数のとりうる値の範囲（定義域）を必ず確認してから最大値・最小値を求める。

解法1

半角の公式と2倍角の公式を用いて、関数 $f(\theta)$ を $\cos 2\theta$ の式で表す。

半角の公式より、

$$\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$$

2倍角の公式より、

$$\cos 4\theta = 2\cos^2 2\theta - 1$$

これらを $f(\theta)$ に代入すると、

$$\begin{aligned} f(\theta) &= (2\cos^2 2\theta - 1) - 4 \left( \frac{1 - \cos 2\theta}{2} \right) \\ &= 2\cos^2 2\theta - 1 - 2(1 - \cos 2\theta) \\ &= 2\cos^2 2\theta + 2\cos 2\theta - 3 \end{aligned}$$

ここで、$t = \cos 2\theta$ とおく。 $0 \leqq \theta \leqq 90^\circ$ であるから、

$$0 \leqq 2\theta \leqq 180^\circ$$

となり、$t$ のとりうる値の範囲は、

$$-1 \leqq t \leqq 1$$

である。

$f(\theta)$ を $t$ の関数とみて $g(t)$ とおくと、

$$\begin{aligned} g(t) &= 2t^2 + 2t - 3 \\ &= 2\left(t^2 + t\right) - 3 \\ &= 2\left(t + \frac{1}{2}\right)^2 - 2 \cdot \frac{1}{4} - 3 \\ &= 2\left(t + \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{7}{2} \end{aligned}$$

関数 $g(t)$ の定義域は $-1 \leqq t \leqq 1$ であり、放物線の頂点 $t = -\frac{1}{2}$ はこの定義域に含まれる。よって、$t = -\frac{1}{2}$ のとき、最小値 $-\frac{7}{2}$ をとる。

最大値は定義域の端点のうち、軸 $t = -\frac{1}{2}$ から遠い方の $t = 1$ のときにとる。 $t = 1$ のとき、

$$g(1) = 2 \cdot 1^2 + 2 \cdot 1 - 3 = 1$$

となる。したがって、$f(\theta)$ の最大値は $1$、最小値は $-\frac{7}{2}$ である。

解法2

$x = \sin^2 \theta$ と置き換えて、関数 $f(\theta)$ を $x$ の式で表す。

$0 \leqq \theta \leqq 90^\circ$ より $0 \leqq \sin \theta \leqq 1$ であるから、$x$ のとりうる値の範囲は、

$$0 \leqq x \leqq 1$$

である。また、2倍角の公式より、

$$\cos 4\theta = 1 - 2\sin^2 2\theta$$

であり、さらに $\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta$ であるから、

$$\begin{aligned} \cos 4\theta &= 1 - 2(2\sin \theta \cos \theta)^2 \\ &= 1 - 8\sin^2 \theta \cos^2 \theta \\ &= 1 - 8\sin^2 \theta (1 - \sin^2 \theta) \\ &= 1 - 8x(1 - x) \\ &= 8x^2 - 8x + 1 \end{aligned}$$

これらを $f(\theta)$ に代入すると、

$$\begin{aligned} f(\theta) &= (8x^2 - 8x + 1) - 4x \\ &= 8x^2 - 12x + 1 \\ &= 8\left(x^2 - \frac{3}{2}x\right) + 1 \\ &= 8\left(x - \frac{3}{4}\right)^2 - 8 \cdot \frac{9}{16} + 1 \\ &= 8\left(x - \frac{3}{4}\right)^2 - \frac{7}{2} \end{aligned}$$

関数 $f(\theta)$ を $x$ の2次関数とみて、定義域 $0 \leqq x \leqq 1$ における最大値と最小値を調べる。放物線の軸 $x = \frac{3}{4}$ は定義域に含まれるので、 $x = \frac{3}{4}$ のとき、最小値 $-\frac{7}{2}$ をとる。

定義域の両端における値は、 $x = 0$ のとき $1$ $x = 1$ のとき $8 \cdot 1^2 - 12 \cdot 1 + 1 = -3$ よって、最大値は $x = 0$ のときの $1$ である。

したがって、$f(\theta)$ の最大値は $1$、最小値は $-\frac{7}{2}$ である。

解説

三角関数の最大・最小問題の典型である。式に複数の角度（$\theta$ と $4\theta$）が含まれている場合、まずは公式を用いて角度を統一することが第一歩となる。解法1のように角度を $2\theta$ に統一して $\cos 2\theta$ の2次関数に帰着させるか、解法2のように関数を $\sin^2\theta$ のかたまりと見てその2次関数に帰着させるのが標準的なアプローチである。文字の置き換えを行った際は、置き換えた文字の「定義域」を必ず確認し、その範囲内で2次関数の最大・最小を考えることが最も重要である。