トップ› 大阪大学› 1973年› 文系第3問

大阪大学 1973年文系第3問解説

方針・初手

(1) 3次関数が極大値と極小値をもつためには、導関数 $f'(x) = 0$ が異なる2つの実数解をもつ必要がある。判別式を用いてこれを証明する。 (2) 極大点と極小点の $x$ 座標を $\alpha, \beta$ と置き、解と係数の関係を利用する。線分 $PQ$ が $y$ 軸と交わる条件は、点 $P, Q$ の $y$ 座標ではなく $x$ 座標に着目することで計算を簡略化できる。

解法1

(1)

$f(x) = x^3 + 6ax^2 - 12x + 1$ より、導関数は次のようになる。

$$ f'(x) = 3x^2 + 12ax - 12 = 3(x^2 + 4ax - 4) $$

方程式 $f'(x) = 0$ すなわち $x^2 + 4ax - 4 = 0$ の判別式を $D$ とすると、

$$ \frac{D}{4} = (2a)^2 - 1 \cdot (-4) = 4a^2 + 4 $$

$a$ は実数であるため $a^2 \geqq 0$ であり、常に $4a^2 + 4 > 0$ となる。したがって $D > 0$ であり、方程式 $f'(x) = 0$ は常に異なる2つの実数解をもつ。

これらの解を $\alpha, \beta$ ($\alpha < \beta$) とすると、関数 $y=f(x)$ の $x^3$ の係数が正であることから、$f'(x)$ の符号は $x=\alpha$ の前後で正から負へ、$x=\beta$ の前後で負から正へ変化する。よって、関数 $y=f(x)$ は $x=\alpha$ で極大値、$x=\beta$ で極小値をそれぞれ1つずつもつ。

(2)

(1) より、極大値を与える点の $x$ 座標は $\alpha$、極小値を与える点の $x$ 座標は $\beta$ である。これらを結ぶ線分を3等分する点 $P, Q$ の $x$ 座標をそれぞれ $p, q$ ($p < q$) とおくと、$p, q$ は線分の端点の $x$ 座標 $\alpha, \beta$ を $1:2$ および $2:1$ に内分する値であるため、

$$ p = \frac{2\alpha + \beta}{3}, \quad q = \frac{\alpha + 2\beta}{3} $$

と表される。

線分 $PQ$（両端を含む）が $y$ 軸（直線 $x=0$）と交わるための条件は、$P, Q$ の $x$ 座標が異符号であるか、少なくとも一方が $0$ となることである。 $p < q$ であるから、この条件は $p \leqq 0 \leqq q$ と表せ、これは $pq \leqq 0$ と同値である。

$$ pq = \frac{2\alpha + \beta}{3} \cdot \frac{\alpha + 2\beta}{3} = \frac{2\alpha^2 + 5\alpha\beta + 2\beta^2}{9} = \frac{2(\alpha+\beta)^2 + \alpha\beta}{9} $$

ここで、2次方程式 $x^2 + 4ax - 4 = 0$ における解と係数の関係より、

$$ \alpha + \beta = -4a, \quad \alpha\beta = -4 $$

これらを先ほどの式に代入する。

$$ pq = \frac{2(-4a)^2 + (-4)}{9} = \frac{32a^2 - 4}{9} $$

$pq \leqq 0$ より、

$$ \frac{32a^2 - 4}{9} \leqq 0 $$

$$ 32a^2 \leqq 4 $$

$$ a^2 \leqq \frac{1}{8} $$

これを解いて、求める $a$ の値の範囲は、

$$ -\frac{1}{2\sqrt{2}} \leqq a \leqq \frac{1}{2\sqrt{2}} $$

$$ -\frac{\sqrt{2}}{4} \leqq a \leqq \frac{\sqrt{2}}{4} $$

解説

3次関数の極値の条件と、解と係数の関係を組み合わせた標準的な問題である。 (1) では、単に $f'(x)=0$ の判別式が正であることを示すだけでなく、導関数の符号変化に言及して「極大値と極小値をもつ」理由を明確に記述することが論理的飛躍を防ぐポイントである。 (2) では、線分が $y$ 軸と交わる条件を「端点の $x$ 座標の積が $0$ 以下」と言い換えることで、解と係数の関係をスムーズに適用できる。点の $y$ 座標を直接求める必要がないことに気付けると、計算量を大幅に減らすことができる。