数学2 最大最小・解の個数 問題 2 解説

方針・初手

切り取る正方形の1辺の長さを $x$ cm とし、箱の縦、横、高さを $x$ で表す。容積を $x$ の関数として立式し、各辺の長さが正であることから $x$ の定義域（とりうる値の範囲）を求める。その後、微分を用いて関数の最大値を求める。

解法1

切り取る正方形の1辺の長さを $x$ cm とし、完成した箱の容積を $V(x) \text{ cm}^3$ とする。

箱の各辺の長さは、高さが $x$ cm、底面の縦が $(10 - 2x)$ cm、横が $(20 - 2x)$ cm である。 辺の長さは正であるから、以下の条件が成り立つ。

$$\begin{cases} x > 0 \\ 10 - 2x > 0 \\ 20 - 2x > 0 \end{cases}$$

これらを同時に満たす $x$ の範囲は、

$$0 < x < 5$$

である。このとき、箱の容積 $V(x)$ は次のように表される。

$$V(x) = x(10 - 2x)(20 - 2x)$$

$$V(x) = 4x(5 - x)(10 - x)$$

$$V(x) = 4(x^3 - 15x^2 + 50x)$$

$x$ について微分すると、

$$V'(x) = 4(3x^2 - 30x + 50)$$

となる。$V'(x) = 0$ となる $x$ の値を解の公式を用いて求める。

$$x = \frac{15 \pm \sqrt{(-15)^2 - 3 \cdot 50}}{3}$$

$$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 150}}{3}$$

$$x = \frac{15 \pm \sqrt{75}}{3}$$

$$x = \frac{15 \pm 5\sqrt{3}}{3} = 5 \pm \frac{5\sqrt{3}}{3}$$

ここで、$1 < \sqrt{3} < 2$ であるから $\frac{5}{3} < \frac{5\sqrt{3}}{3} < \frac{10}{3}$ となり、$0 < 5 - \frac{5\sqrt{3}}{3} < 5$ は定義域 $0 < x < 5$ に含まれるが、$5 + \frac{5\sqrt{3}}{3} > 5$ は定義域に含まれない。 したがって、増減表は以下のようになる。

増減表より、$V(x)$ は $x = 5 - \frac{5\sqrt{3}}{3}$ のとき極大かつ最大となる。 最大値を計算するために、$x = \frac{15 - 5\sqrt{3}}{3}$ を各辺の長さに代入して掛け合わせる。

高さ：

$$x = \frac{5(3 - \sqrt{3})}{3}$$

底面の縦：

$$10 - 2x = 10 - \frac{30 - 10\sqrt{3}}{3} = \frac{10\sqrt{3}}{3}$$

底面の横：

$$20 - 2x = 20 - \frac{30 - 10\sqrt{3}}{3} = \frac{30 + 10\sqrt{3}}{3} = \frac{10(3 + \sqrt{3})}{3}$$

これらを掛け合わせて容積を求める。

$$V\left(5 - \frac{5\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{5(3 - \sqrt{3})}{3} \cdot \frac{10\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{10(3 + \sqrt{3})}{3}$$

$$= \frac{5 \cdot 10 \cdot 10 \cdot \sqrt{3} \cdot (3 - \sqrt{3})(3 + \sqrt{3})}{3^3}$$

$$= \frac{500\sqrt{3} (9 - 3)}{27}$$

$$= \frac{3000\sqrt{3}}{27}$$

$$= \frac{1000\sqrt{3}}{9}$$

解説

関数の最大・最小を求める標準的な微分法の実用問題である。切り取る長さを文字でおいた際、それが満たすべき条件（定義域）を忘れないようにすることが重要である。また、極値をとる $x$ の値が無理数になる場合、展開した3次式にそのまま代入すると計算が煩雑になりミスを誘発しやすい。因数分解された元の式 $(x)(10-2x)(20-2x)$ の各要素に代入し、和と差の積 $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ の形を利用すると、素早く正確に計算できる。

答え

$\frac{1000\sqrt{3}}{9} \text{ cm}^3$