名古屋大学 2007年 理系 第2問 解説

方針・初手

(1) は導関数を求めて増減表を作成し、極値と $y$ 軸との交点などを求めてグラフの概形を把握する。

(2) は方程式 $f(x)=a$ が3つの実数解を持つ条件から $a$ の範囲を抑えるとともに、解と係数の関係または因数定理を利用して、解の差 $l = \gamma - \alpha$ を $\beta$ の式で表す。

(3) は (1) のグラフから $\beta$ のとり得る値の範囲を求め、(2) で得られた $l$ の式（$\beta$ の関数）のとり得る値の範囲を調べる。

解法1

(1)

関数 $f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 1$ を微分する。

$$ f'(x) = 6x^2 - 6x = 6x(x - 1) $$

$f'(x) = 0$ とすると、$x = 0, 1$ である。

関数 $f(x)$ の増減表は次のようになる。

$x$	$\cdots$	$0$	$\cdots$	$1$	$\cdots$
$f'(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$\nearrow$	$1$	$\searrow$	$0$	$\nearrow$

増減表より、関数 $f(x)$ は $x=0$ で極大値 $1$ をとり、$x=1$ で極小値 $0$ をとる。

グラフは、点 $(0, 1)$ で極大、点 $(1, 0)$ で極小となる、右上がりの3次関数の曲線である。

(2)

方程式 $f(x) = a$ が相異なる3つの実数解を持つ条件は、直線 $y = a$ が $y = f(x)$ のグラフと異なる3点で交わることである。

(1) の結果より、極小値と極大値の間に直線 $y=a$ があればよいので、$0 < a < 1$ である。

$2x^3 - 3x^2 + 1 = a$ より、$2x^3 - 3x^2 + 1 - a = 0$ となる。

この方程式の3つの解が $\alpha, \beta, \gamma$ であるから、解と係数の関係より以下の関係式が成り立つ。

$$ \begin{cases} \alpha + \beta + \gamma = \frac{3}{2} \\ \alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = 0 \\ \alpha\beta\gamma = \frac{a - 1}{2} \end{cases} $$

第1式と第2式を用いて、$\alpha + \gamma$ と $\alpha\gamma$ をそれぞれ $\beta$ を用いて表す。

$$ \begin{aligned} \alpha + \gamma &= \frac{3}{2} - \beta \\ \alpha\gamma &= -\beta(\alpha + \gamma) = -\beta\left(\frac{3}{2} - \beta\right) = \beta^2 - \frac{3}{2}\beta \end{aligned} $$

$l = \gamma - \alpha$ であり、条件 $\alpha < \gamma$ より $l > 0$ であるから、両辺を2乗して差の平方を利用する。

$$ l = \sqrt{(\gamma - \alpha)^2} = \sqrt{(\alpha + \gamma)^2 - 4\alpha\gamma} $$

これに上で求めた式を代入して計算する。

$$ \begin{aligned} l &= \sqrt{\left(\frac{3}{2} - \beta\right)^2 - 4\left(\beta^2 - \frac{3}{2}\beta\right)} \\ &= \sqrt{\frac{9}{4} - 3\beta + \beta^2 - 4\beta^2 + 6\beta} \\ &= \sqrt{-3\beta^2 + 3\beta + \frac{9}{4}} \end{aligned} $$

(3)

(2) より $a$ は $0 < a < 1$ の範囲を動く。

このとき、$y = f(x)$ のグラフと直線 $y = a$ の交点の $x$ 座標が小さい順に $\alpha, \beta, \gamma$ である。グラフの概形から、中央の解 $\beta$ は極大値をとる $x=0$ と極小値をとる $x=1$ の間に必ず存在する。

よって、$\beta$ のとり得る値の範囲は $0 < \beta < 1$ である。

(2) で求めた $l$ の式の根号の中身について平方完成を行う。

$$ -3\beta^2 + 3\beta + \frac{9}{4} = -3\left(\beta^2 - \beta\right) + \frac{9}{4} = -3\left(\beta - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4} + \frac{9}{4} = -3\left(\beta - \frac{1}{2}\right)^2 + 3 $$

$0 < \beta < 1$ の範囲において、この2次関数は $\beta = \frac{1}{2}$ のときに最大値 $3$ をとる。

また、$\beta \to 0$ および $\beta \to 1$ のときの極限値はともに $\frac{9}{4}$ である。

したがって、根号の中身のとり得る値の範囲は以下のようになる。

$$ \frac{9}{4} < -3\beta^2 + 3\beta + \frac{9}{4} \le 3 $$

$l > 0$ であるから、各辺の正の平方根をとることで $l$ の動く範囲が求まる。

$$ \frac{3}{2} < l \le \sqrt{3} $$

解法2

(2) について、因数定理を用いて次数の低い方程式に帰着させる別解を示す。

(2)

方程式 $f(x) - a = 0$ は $x = \beta$ を解にもつため、$f(\beta) - a = 0$、すなわち $a = 2\beta^3 - 3\beta^2 + 1$ が成り立つ。

これを与えられた方程式に代入して定数 $a$ を消去する。

$$ 2x^3 - 3x^2 + 1 - (2\beta^3 - 3\beta^2 + 1) = 0 $$

$$ 2(x^3 - \beta^3) - 3(x^2 - \beta^2) = 0 $$

因数分解を行う。

$$ (x - \beta)\{2(x^2 + \beta x + \beta^2) - 3(x + \beta)\} = 0 $$

$$ (x - \beta)\{2x^2 + (2\beta - 3)x + 2\beta^2 - 3\beta\} = 0 $$

$\alpha, \gamma$ は $\beta$ と異なる解であるから、残りの2解 $\alpha, \gamma$ は2次方程式 $2x^2 + (2\beta - 3)x + \beta(2\beta - 3) = 0$ の解となる。

解の公式を用いる。

$$ x = \frac{-(2\beta - 3) \pm \sqrt{(2\beta - 3)^2 - 8\beta(2\beta - 3)}}{4} = \frac{-2\beta + 3 \pm \sqrt{-12\beta^2 + 12\beta + 9}}{4} $$

$\alpha < \gamma$ より、2つの解の大小関係は次のようになる。

$$ \alpha = \frac{-2\beta + 3 - \sqrt{-12\beta^2 + 12\beta + 9}}{4} $$

$$ \gamma = \frac{-2\beta + 3 + \sqrt{-12\beta^2 + 12\beta + 9}}{4} $$

したがって、$l = \gamma - \alpha$ を計算する。

$$ l = \frac{2\sqrt{-12\beta^2 + 12\beta + 9}}{4} = \frac{1}{2}\sqrt{-12\beta^2 + 12\beta + 9} = \sqrt{-3\beta^2 + 3\beta + \frac{9}{4}} $$

解説

(2) は3次方程式の解の差を求める問題であり、解と係数の関係を利用して対称式として処理する解法1と、既知の解 $\beta$ を用いて因数定理により2次方程式に帰着させる解法2が考えられる。どちらの手法も頻出の典型処理である。

(3) においては、変数 $a$ の変化を、グラフの幾何学的な位置関係から変数 $\beta$ の動く範囲に翻訳できるかがポイントとなる。極値をとる $x$ 座標の間に中央の解が存在するという関係を正確に読み取ることが求められる。

答え

(1) グラフは点 $(0, 1)$ で極大、点 $(1, 0)$ で極小となる。（概形および増減表は解法1を参照）

(2) $l = \sqrt{-3\beta^2 + 3\beta + \frac{9}{4}}$

(3) $\frac{3}{2} < l \le \sqrt{3}$