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東京工業大学 2004年理系第1問解説

方針・初手

(1) は関数を微分し、導関数の符号変化から増減を調べる。 (2) は方程式 $g(x) = k$ （$k$ は定数）が相異なる3つの実数解を持つような $k$ が存在する条件を考える問題である。まずは $y=g(x)$ のグラフの概形を把握するために $g'(x)$ を計算し、$g'(x) = 0$ となる条件を (1) の関数 $f(x)$ を用いて読み替えるのが着眼点である。

解法1

(1)

与えられた関数 $f(x)$ を微分する。商の微分法を用いると、

$$ \begin{aligned} f'(x) &= \frac{4x^3(x-a)^3 - x^4 \cdot 3(x-a)^2}{(x-a)^6} \\ &= \frac{x^3(x-a)^2 \{4(x-a) - 3x\}}{(x-a)^6} \\ &= \frac{x^3(x-4a)}{(x-a)^4} \end{aligned} $$

となる。

区間 $x > a$ において、$a > 0$ であるから $x^3 > 0$ かつ $(x-a)^4 > 0$ である。したがって、$f'(x)$ の符号は $x-4a$ の符号と一致する。 $f'(x) = 0$ となるのは $x = 4a$ のときであり、増減は以下のようになる。

$a < x < 4a$ のとき、$f'(x) < 0$ より $f(x)$ は単調減少
$x = 4a$ のとき、$f'(x) = 0$ より $f(x)$ は極小値をとる
$4a < x$ のとき、$f'(x) > 0$ より $f(x)$ は単調増加

極小値は、

$$ f(4a) = \frac{(4a)^4}{(4a-a)^3} = \frac{256a^4}{27a^3} = \frac{256}{27}a $$

である。

(2)

関数 $g(x)$ を微分する。

$$ \begin{aligned} g'(x) &= -2(x-a)^{-3} - b \cdot (-3)x^{-4} \\ &= -\frac{2}{(x-a)^3} + \frac{3b}{x^4} \\ &= \frac{-2x^4 + 3b(x-a)^3}{x^4(x-a)^3} \end{aligned} $$

$g(x)$ のグラフと相異なる3点で交わる $x$ 軸に平行な直線 $y = k$ が存在するためには、少なくとも関数 $g(x)$ が極大値と極小値を持つ必要がある。（もし極値を持たなければ、$g(x)$ は単調減少し、任意の直線 $y=k$ との交点は高々1個となるため不適である） $g(x)$ が極値を持つためには、$g'(x) = 0$ が区間 $x > a$ において符号変化を伴う実数解を持つことが必要である。

$g'(x) = 0$ とすると、

$$ \frac{2x^4}{(x-a)^3} = 3b \iff \frac{x^4}{(x-a)^3} = \frac{3}{2}b $$

すなわち、

$$ f(x) = \frac{3}{2}b $$

となる。 (1) で調べた $f(x)$ の増減と、$\lim_{x \to a+0} f(x) = \infty$, $\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$ であることを考慮すると、$y=f(x)$ のグラフは $x=4a$ で極小値 $\frac{256}{27}a$ をとる下に凸な概形となる。したがって、方程式 $f(x) = \frac{3}{2}b$ が $x > a$ において相異なる2つの実数解を持つための条件は、

$$ \frac{3}{2}b > \frac{256}{27}a \iff b > \frac{512}{81}a $$

である。

この条件が成り立つとき、$f(x) = \frac{3}{2}b$ の2つの解を $\alpha, \beta$ （$a < \alpha < 4a < \beta$）とおく。 $g'(x)$ は次のように変形できる。

$$ g'(x) = \frac{2}{x^4} \left( \frac{3}{2}b - f(x) \right) $$

$x > a$ において $\frac{2}{x^4} > 0$ であるから、$g'(x)$ の符号は $\frac{3}{2}b - f(x)$ の符号と一致する。グラフの上下関係から、

$a < x < \alpha$ では $f(x) > \frac{3}{2}b$ より $g'(x) < 0$
$\alpha < x < \beta$ では $f(x) < \frac{3}{2}b$ より $g'(x) > 0$
$\beta < x$ では $f(x) > \frac{3}{2}b$ より $g'(x) < 0$

となるため、$g(x)$ は $x = \alpha$ で極小、$x = \beta$ で極大となる。さらに区間の端点における極限を調べると、

$$ \lim_{x \to a+0} g(x) = \lim_{x \to a+0} \left( \frac{1}{(x-a)^2} - \frac{b}{x^3} \right) = \infty $$

$$ \lim_{x \to \infty} g(x) = 0 $$

である。 $x > \beta$ において $g(x)$ は単調減少し $0$ に収束するため、極大値について $g(\beta) > 0$ が成り立つ。したがって、直線の $y$ 切片 $k$ を

$$ \max(0, g(\alpha)) < k < g(\beta) $$

を満たすようにとれば（$g(\beta) > 0$ かつ $g(\beta) > g(\alpha)$ よりこのような $k$ は必ず存在する）、直線 $y=k$ と $y=g(x)$ のグラフは区間 $(a, \alpha)$, $(\alpha, \beta)$, $(\beta, \infty)$ でそれぞれ1回ずつ、合計3回交わる。

よって、求める必要十分条件は $g'(x) = 0$ が異なる2つの正の解を持つことと同値であり、$b > \frac{512}{81}a$ となる。

解説

関数の極値の個数や方程式の解の個数を調べる際、定数分離や他の関数への帰着を行うのが定石である。本問の (2) では、$g'(x) = 0$ という方程式をそのまま解こうとするのではなく、$g'(x)$ の式の中に (1) で調べた関数 $f(x)$ の形を見出し、$f(x) = \frac{3}{2}b$ という方程式の実数解の個数問題に帰着させるのが最大のポイントである。また、必要十分条件を求める問題であるため、「極値を持つための条件（必要性）」だけでなく、「極値を持てば必ず3つの交点を持つこと（十分性）」まで言及し、論理の穴をなくすことが重要である。