数学2 最大最小・解の個数問題 76 解説

方針・初手

与えられた図形は凸図形であるため、内部に含まれる最長の線分の両端は、必ず図形の境界上にある。境界は放物線 $y = x^2 - 4$ の $-2 \leqq x \leqq 2$ の部分と、$x$ 軸の線分 $-2 \leqq x \leqq 2$ の部分からなる。両端点が境界のどこにあるかで場合分けを行い、2点間の距離の最大値を考える。特に、2点がともに放物線上にある場合は、2点の $x$ 座標の和と差を変数にとることで、見通しよく最大値を求めることができる。

解法1

曲線 $C: y = x^2 - 4$ と $x$ 軸との交点の $x$ 座標は、$x^2 - 4 = 0$ より $x = \pm 2$ である。条件を満たす図形 $D$ は連立不等式

$$\begin{cases} y \geqq x^2 - 4 \\ y \leqq 0 \end{cases}$$

の表す領域である。これは下に凸な放物線の上側と直線の共通部分であり、凸図形である。したがって、$D$ 内の任意の線分を延長すると境界に到達するため、最長線分の両端点は $D$ の境界上にあるとしてよい。 $D$ の境界は、放物線の弧の部分 $C_1: y = x^2 - 4 \ (-2 \leqq x \leqq 2)$ と、線分の部分 $C_2: y = 0 \ (-2 \leqq x \leqq 2)$ からなる。最長線分の両端点を $P, Q$ とおき、その位置によって以下のように場合分けする。

(i) $P, Q$ がともに $C_2$ 上にある場合

線分の長さの最大値は、点 $(-2, 0)$ と $(2, 0)$ を結ぶときの $4$ であり、距離の2乗の最大値は $16$ である。

(ii) $P$ が $C_1$ 上、$Q$ が $C_2$ 上にある場合

$P(p, p^2 - 4)$、$Q(q, 0)$ （$-2 \leqq p \leqq 2, -2 \leqq q \leqq 2$）とおく。線分 $PQ$ の長さの2乗は、

$$PQ^2 = (p - q)^2 + (p^2 - 4)^2$$

である。$p$ を固定してこれを $q$ の関数と見ると、下に凸な2次関数であるため、$-2 \leqq q \leqq 2$ において最大値をとるのは区間の端点 $q = 2$ または $q = -2$ のときである。このとき、点 $Q$ は点 $(2, 0)$ または $(-2, 0)$ となり、これらは $C_1$ 上の点でもある。したがって、この場合の最大値は、次の「$P, Q$ がともに $C_1$ 上にある場合」の最大値に等しいか、それ以下に留まるため、(iii) の計算に含めることができる。

(iii) $P, Q$ がともに $C_1$ 上にある場合

$P(p, p^2 - 4)$、$Q(q, q^2 - 4)$ とおき、対称性から $-2 \leqq p < q \leqq 2$ とする。線分 $PQ$ の長さの2乗を $L^2$ とすると、

$$L^2 = (q - p)^2 + (q^2 - p^2)^2 = (q - p)^2 \{ 1 + (q + p)^2 \}$$

ここで、$u = q - p$、$v = q + p$ とおくと $u > 0$ であり、

$$p = \frac{v - u}{2}, \quad q = \frac{v + u}{2}$$

と表せる。$-2 \leqq p < q \leqq 2$ であるための条件は、

$$-2 \leqq \frac{v - u}{2} \quad \text{かつ} \quad \frac{v + u}{2} \leqq 2$$

すなわち、

$$u - 4 \leqq v \leqq 4 - u$$

である。この不等式を満たす $v$ が存在するための条件は $u - 4 \leqq 4 - u$ より $0 < u \leqq 4$ である。 $L^2 = u^2 (1 + v^2)$ であり、$u$ を固定して考えると、$v^2 \leqq (4 - u)^2$ であるから、

$$L^2 \leqq u^2 \{ 1 + (4 - u)^2 \} = u^4 - 8u^3 + 17u^2$$

等号は $|v| = 4 - u$ のとき成立する。これは $q = 2$ または $p = -2$ の場合であり、端点の一方が $C_1$ と $C_2$ の交点に一致する場合を意味する。 $g(u) = u^4 - 8u^3 + 17u^2$ ($0 < u \leqq 4$) とおき、この最大値を求める。

$$g'(u) = 4u^3 - 24u^2 + 34u = 2u(2u^2 - 12u + 17)$$

$g'(u) = 0$ とすると、$u > 0$ より $2u^2 - 12u + 17 = 0$。これを解いて $u = \frac{6 \pm \sqrt{2}}{2} = 3 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ となる。 $u_1 = 3 - \frac{\sqrt{2}}{2}$、$u_2 = 3 + \frac{\sqrt{2}}{2}$ とおく。 $1 < \sqrt{2} < 2$ より、$2.2 < u_1 < 2.5$、$3.5 < u_2 < 4$ であるから、いずれも区間 $(0, 4)$ に含まれる。 $0 < u \leqq 4$ における増減を調べる。$2u^2 - 12u + 17 = 2(u - u_1)(u - u_2)$ であるから、$g'(u)$ の符号は $u < u_1$ で正、$u_1 < u < u_2$ で負、$u > u_2$ で正となる。したがって、$g(u)$ は $u = u_1$ で極大、$u = u_2$ で極小となる。最大値の候補は、極大値 $g(u_1)$ または区間の右端での値 $g(4)$ のいずれかである。

$$g(4) = 4^4 - 8 \cdot 4^3 + 17 \cdot 4^2 = 256 - 512 + 272 = 16$$

次に、$g(u_1)$ の値を求める。$u_1$ は $2u^2 - 12u + 17 = 0$ を満たすので、$u^2 = 6u - \frac{17}{2}$ である。これを用いて次数を下げると、

$$\begin{aligned} g(u) &= u^2(u^2 - 8u + 17) \\ &= \left( 6u - \frac{17}{2} \right) \left( 6u - \frac{17}{2} - 8u + 17 \right) \\ &= \left( 6u - \frac{17}{2} \right) \left( -2u + \frac{17}{2} \right) \\ &= -12u^2 + 68u - \frac{289}{4} \\ &= -12 \left( 6u - \frac{17}{2} \right) + 68u - \frac{289}{4} \\ &= -4u + \frac{119}{4} \end{aligned}$$

$u = u_1 = 3 - \frac{\sqrt{2}}{2}$ を代入して、

$$g(u_1) = -4 \left( 3 - \frac{\sqrt{2}}{2} \right) + \frac{119}{4} = -12 + 2\sqrt{2} + \frac{119}{4} = \frac{71 + 8\sqrt{2}}{4}$$

ここで、$8\sqrt{2} = \sqrt{128} > 11$ であるから、

$$g(u_1) > \frac{71 + 11}{4} = \frac{82}{4} = 20.5 > 16 = g(4)$$

よって、$g(u)$ の最大値は $\frac{71 + 8\sqrt{2}}{4}$ であり、これは (i) の最大値 $16$ より大きい。

以上より、求める最長の線分の長さの2乗は $\frac{71 + 8\sqrt{2}}{4}$ であるから、その長さは

$$\sqrt{ \frac{71 + 8\sqrt{2}}{4} } = \frac{\sqrt{71 + 8\sqrt{2}}}{2}$$

となる。

解説

図形が凸である性質から、最長線分の端点が境界上に存在することを見抜くのが第一歩である。放物線上の2点間の距離の最大化については、直接 $x$ 座標を2変数 $p, q$ として偏微分等を用いると計算が煩雑になる。本解法のように和 $v = q+p$ と差 $u = q-p$ を用いると、$v$ についての依存性が単調になり、すぐに境界（片方の端点が $x$ 軸の交点にくる場合）に帰着できるため、見通しが良くなる。また、極値の計算においては、$2u^2 - 12u + 17 = 0$ を用いた「次数下げ」を行うことで、無理数の代入計算によるミスを大幅に防ぐことができる。