数学2 高次不等式 問題 1 解説

方針・初手

与えられた不等式を整理し、片方の辺を $0$ にして高次不等式を導く。その後、因数定理や式の展開・整理を利用して左辺を因数分解し、3次不等式を解く。最後に、「正数 $x$」という条件（$x > 0$）を考慮して共通範囲を求める。

解法1

与えられた不等式は、

$$9x^2 + 5x - 12 > x^3 + x^2 - 4x + 60$$

である。すべての項を右辺に移項して整理すると、

$$0 > x^3 - 8x^2 - 9x + 72$$

すなわち、

$$x^3 - 8x^2 - 9x + 72 < 0$$

となる。左辺を $P(x)$ とおくと、$P(8) = 8^3 - 8 \cdot 8^2 - 9 \cdot 8 + 72 = 0$ となるから、因数定理より $P(x)$ は $x - 8$ を因数にもつ。

$P(x)$ を $x - 8$ で割ると、商は $x^2 - 9$ となるから、

$$P(x) = (x - 8)(x^2 - 9) = (x - 8)(x + 3)(x - 3)$$

と因数分解できる。よって、不等式は、

$$(x + 3)(x - 3)(x - 8) < 0$$

これを解くと、

$$x < -3, \quad 3 < x < 8$$

となる。ここで、$x$ は正数であるから $x > 0$ である。

したがって、これと求めた解の共通範囲をとると、

$$3 < x < 8$$

となる。

解法2

与えられた不等式を整理するところまでは解法1と同じである。

$$x^3 - 8x^2 - 9x + 72 < 0$$

左辺の項を前2項、後ろ2項の組に分けてそれぞれくくると、

$$x^2(x - 8) - 9(x - 8) < 0$$

となる。共通因数 $(x - 8)$ でくくると、

$$(x^2 - 9)(x - 8) < 0$$

さらに $x^2 - 9$ を因数分解して、

$$(x + 3)(x - 3)(x - 8) < 0$$

これより、

$$x < -3, \quad 3 < x < 8$$

を得る。条件より $x > 0$ であるから、これとの共通範囲をとって、

$$3 < x < 8$$

となる。

解説

高次不等式を解く基本的な問題である。高次方程式や高次不等式では、因数定理を用いて1次式の因数を見つけることが基本の解法となる。定数項の約数から代入する候補を探すとよい。

また、解法2のように、項を適切に組み合わせて共通因数を見つけ出すことで、より早く因数分解を完了させることも可能である。この方法は見通しが立つ場合には計算量の削減に有効である。

最後に、「正数 $x$」という条件を見落とさず、不等式の解との共通範囲をとることが重要である。

答え