数学2 高次不等式 問題 2 解説

方針・初手

与えられた4次不等式の左辺が $x$ と $x-1$ を因数に持つことが問題文から読み取れるため、まずは左辺を因数分解する。残りの2次式も $a$ を用いて因数分解できるので、4つの1次式の積の形にする。その後は4つの解（境界値）の大小関係を $a$ の値によって場合分けし、不等式の解を求める。

解法1

(1)

与えられた4次不等式の左辺を $f(x)$ とおく。

$$f(x) = x^4 - 5x^3 - (a^2 - 8)x^2 + (a+2)(a-2)x$$

各項は $x$ を因数に持つため、$x$ でくくる。

$$f(x) = x \{ x^3 - 5x^2 - (a^2 - 8)x + (a^2 - 4) \}$$

問題文の形から、波括弧の中の3次式は $x-1$ を因数に持つ。実際に $x=1$ を代入すると $1 - 5 - (a^2 - 8) + (a^2 - 4) = 0$ となる。よって、組み立て除法などを用いて因数分解する。

$$f(x) = x (x-1) \{ x^2 - 4x - (a^2 - 4) \}$$

したがって、$[ア]$ は $-4$、$[イ]$ は $-(a^2 - 4) = 4 - a^2$ である。

さらに、波括弧の中の2次式を因数分解する。$-(a^2 - 4) = -(a-2)(a+2)$ であり、$-(a-2)$ と $-(a+2)$ の和は $-2a$ となって $-4$ にならないが、$a-2$ と $-(a+2)$ の和は $-4$ になる。

$$f(x) = x (x-1) \{ x - (a+2) \} \{ x + (a-2) \} = x (x-1) \{ x - (a+2) \} \{ x - (2-a) \}$$

よって、$\alpha, \beta$ は $a+2, 2-a$ である（順不同）。

(2)

不等式 $f(x) \geqq 0$ の解は、$f(x) = 0$ の4つの解 $x = 0, 1, a+2, 2-a$ の大小関係によって決まる。 $a > 0$ であるから、常に $a+2 > 2 > 1 > 0$ が成り立つ。 したがって、$2-a$ と $0, 1$ の大小関係で場合分けを行えばよい。

(i) $0 < a < 1$ のとき

$a < 1$ より $2-a > 1$ であり、$a > 0$ より $2-a < 2 < a+2$ である。 よって、4つの解の大小関係は以下のようになる。

$$0 < 1 < 2-a < a+2$$

このとき、不等式 $f(x) \geqq 0$ の解は、

$$x \leqq 0, \quad 1 \leqq x \leqq 2-a, \quad a+2 \leqq x$$

(ii) $1 \leqq a < 2$ のとき

$a \geqq 1$ より $2-a \leqq 1$ であり、$a < 2$ より $2-a > 0$ である。 よって、4つの解の大小関係は以下のようになる。

$$0 < 2-a \leqq 1 < a+2$$

このとき、不等式 $f(x) \geqq 0$ の解は、

$$x \leqq 0, \quad 2-a \leqq x \leqq 1, \quad a+2 \leqq x$$

(iii) $2 \leqq a$ のとき

$a \geqq 2$ より $2-a \leqq 0$ である。 よって、4つの解の大小関係は以下のようになる。

$$2-a \leqq 0 < 1 < a+2$$

このとき、不等式 $f(x) \geqq 0$ の解は、

$$x \leqq 2-a, \quad 0 \leqq x \leqq 1, \quad a+2 \leqq x$$

解説

高次不等式の解法における、境界値の大小関係による場合分けの典型問題である。4次不等式 $(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)(x-\delta) \geqq 0$ （$\alpha < \beta < \gamma < \delta$）の解は $x \leqq \alpha, \beta \leqq x \leqq \gamma, \delta \leqq x$ となることを利用する。定数 $a$ を含む境界値 $2-a$ が移動するのに伴い、他の境界値との大小関係がどう変わるかに着目して処理すればよい。(1)での因数分解は問題文の誘導に素直に乗ることで容易に実行できる。

答え

ア：$-4$

イ：$4-a^2$ （$-(a^2-4)$ も可）

ウ：$a+2$

エ：$2-a$ （ウ、エは順不同）

オ：$0$

カ：$1$

キ：$2-a$

ク：$a+2$

ケ：$0$

コ：$2-a$

サ：$1$

シ：$a+2$

ス：$2-a$

セ：$0$

ソ：$1$

タ：$a+2$