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東北大学 2023年理系第4問解説

方針・初手

まず $f(x)=x^2-ax+1$ に対して、与えられた

$$ a=\frac{\sqrt5-1}{2} $$

が

$$ a^2+a-1=0 $$

を満たすことに注目する。

すると $x^2\equiv ax-1 \pmod{f(x)}$ が使えるので、$x^4+x^3+x^2+x+1$ を $f(x)$ で割った余りを直接調べられる。

その後、$f(\alpha)=0$ と（1）の結果を組み合わせて $\alpha^5=1$ を示せば、$\alpha$ が $5$ 乗根であることが分かる。さらに $\alpha+\alpha^{-1}=a$ を用いて、どの $5$ 乗根かを特定する。

解法1

(1)

まず

$$ a=\frac{\sqrt5-1}{2} $$

は

$$ a^2+a-1=0 $$

を満たす。

$f(x)=x^2-ax+1$ で割ることを考えると、

$$ x^2\equiv ax-1 \pmod{f(x)} $$

である。

これを用いて高次の項を順に落とす。

まず

$$ x^3=x\cdot x^2\equiv x(ax-1)=ax^2-x\equiv a(ax-1)-x $$

より

$$ x^3\equiv (a^2-1)x-a. $$

ここで $a^2=1-a$ だから

$$ a^2-1=-a $$

であり、

$$ x^3\equiv -ax-a \pmod{f(x)}. $$

次に

$$ x^4=x\cdot x^3\equiv x(-ax-a)=-ax^2-ax $$

より

$$ x^4\equiv -a(ax-1)-ax=-(a^2+a)x+a. $$

さらに $a^2+a=1$ だから

$$ x^4\equiv -x+a \pmod{f(x)}. $$

したがって

$$ \begin{aligned} x^4+x^3+x^2+x+1 &\equiv (-x+a)+(-ax-a)+(ax-1)+x+1 \\ &=0 \end{aligned} \pmod{f(x)}. $$

よって

$$ x^4+x^3+x^2+x+1 $$

は $f(x)$ で割り切れる。

(2)

$f(\alpha)=0$ であり、（1）より $f(x)$ は $x^4+x^3+x^2+x+1$ を割るから、

$$ \alpha^4+\alpha^3+\alpha^2+\alpha+1=0 $$

である。

$\alpha$ は虚数解なので $\alpha\neq 1$ である。よって

$$ (\alpha-1)(\alpha^4+\alpha^3+\alpha^2+\alpha+1)=\alpha^5-1=0 $$

より

$$ \alpha^5=1 $$

を得る。

また、$f(\alpha)=0$ より

$$ \alpha^2-a\alpha+1=0 $$

であり、$\alpha\neq 0$ だから $\alpha$ で割って

$$ \alpha+\alpha^{-1}=a $$

となる。

ここで $\alpha^5=1$ なので

$$ |\alpha|^5=1 $$

より $|\alpha|=1$ である。したがって

$$ \alpha=e^{i\theta}\qquad (0<\theta<\pi) $$

とおける。さらに

$$ \alpha^5=1 $$

から

$$ e^{5i\theta}=1 $$

であるので、

$$ \theta=\frac{2\pi}{5}\ \text{または}\ \frac{4\pi}{5} $$

である。

ゆえに

$$ \alpha=e^{2\pi i/5}\ \text{または}\ e^{4\pi i/5} $$

である。

一方、

$$ \alpha+\alpha^{-1}=a=\frac{\sqrt5-1}{2}>0 $$

であるが、

$$ e^{4\pi i/5}+e^{-4\pi i/5}=2\cos\frac{4\pi}{5}<0 $$

だから不適である。

したがって

$$ \alpha=e^{2\pi i/5} $$

である。極形式で書けば

$$ \alpha=\cos\frac{2\pi}{5}+i\sin\frac{2\pi}{5} $$

である。

(3)

$\alpha^5=1$ より、$2023\equiv 3\pmod{5}$ であることから

$$ \alpha^{2023}+\alpha^{-2023}=\alpha^3+\alpha^{-3}. $$

さらに $\alpha^5=1$ より $\alpha^{-3}=\alpha^2$ だから

$$ \alpha^{2023}+\alpha^{-2023}=\alpha^3+\alpha^2. $$

ここで

$$ \alpha^4+\alpha^3+\alpha^2+\alpha+1=0 $$

より

$$ \alpha^3+\alpha^2=-(\alpha^4+\alpha+1). $$

また $\alpha^4=\alpha^{-1}$ なので

$$ \alpha^3+\alpha^2=-(\alpha+\alpha^{-1}+1)=-(a+1). $$

したがって

$$ \alpha^{2023}+\alpha^{-2023} = -\left(\frac{\sqrt5-1}{2}+1\right) = -\frac{\sqrt5+1}{2}. $$

解説

この問題の要点は、$a=\dfrac{\sqrt5-1}{2}$ が

$$ a^2+a-1=0 $$

を満たすことを先に使うことである。これにより、$f(x)=x^2-ax+1$ での剰余計算が簡潔になる。

また、（1）で $f(x)$ が $x^4+x^3+x^2+x+1$ を割ると分かると、$f(x)$ の根は $5$ 乗して $1$ になる。したがって、根は $1$ 以外の $5$ 乗根と結びつく。そこから $\alpha+\alpha^{-1}=a$ を使えば、どの $5$ 乗根であるかを一意に決められる。

（3）では三角関数で計算してもよいが、$\alpha^5=1$ と

$$ \alpha^4+\alpha^3+\alpha^2+\alpha+1=0 $$

を使うと代数的にすぐ処理できる。