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東京大学 2023年文系第1問解説

方針・初手

2次方程式の2つの解の対称式であることから、解と係数の関係を用いて与えられた式を $k$ の式で表すことが第一歩である。

得られた $k$ の分数式について、$k > 2$ の範囲での最小値を求める。分数式の最大・最小問題では、分子の次数を分母の次数より低くすることが基本となる。その後、相加平均と相乗平均の大小関係、あるいは微分を用いて最小値を求める。

解法1

2次方程式 $x^2 + x - k = 0$ の2つの解が $\alpha, \beta$ であるから、解と係数の関係より以下の式が成り立つ。

$$ \begin{cases} \alpha + \beta = -1 \\ \alpha\beta = -k \end{cases} $$

このとき、$\alpha^2 + \beta^2$、$\alpha^3 + \beta^3$、$\alpha^4 + \beta^4$ をそれぞれ $k$ を用いて表す。

$$ \begin{aligned} \alpha^2 + \beta^2 &= (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta \\ &= (-1)^2 - 2(-k) \\ &= 1 + 2k \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} \alpha^3 + \beta^3 &= (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \beta) \\ &= (-1)^3 - 3(-k)(-1) \\ &= -1 - 3k \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} \alpha^4 + \beta^4 &= (\alpha^2 + \beta^2)^2 - 2(\alpha\beta)^2 \\ &= (1 + 2k)^2 - 2(-k)^2 \\ &= 1 + 4k + 4k^2 - 2k^2 \\ &= 2k^2 + 4k + 1 \end{aligned} $$

求める式を $S$ とおき、通分して整理する。

$$ \begin{aligned} S &= \frac{\alpha^3}{1 - \beta} + \frac{\beta^3}{1 - \alpha} \\ &= \frac{\alpha^3(1 - \alpha) + \beta^3(1 - \beta)}{(1 - \beta)(1 - \alpha)} \\ &= \frac{(\alpha^3 + \beta^3) - (\alpha^4 + \beta^4)}{1 - (\alpha + \beta) + \alpha\beta} \end{aligned} $$

分母と分子に、先ほど求めた式を代入する。

$$ \begin{aligned} S &= \frac{(-1 - 3k) - (2k^2 + 4k + 1)}{1 - (-1) - k} \\ &= \frac{-2k^2 - 7k - 2}{2 - k} \\ &= \frac{2k^2 + 7k + 2}{k - 2} \end{aligned} $$

分子を分母 $k - 2$ で割り、分子の次数を下げる。

$$ \begin{aligned} 2k^2 + 7k + 2 &= 2k(k - 2) + 11k + 2 \\ &= 2k(k - 2) + 11(k - 2) + 24 \\ &= (k - 2)(2k + 11) + 24 \end{aligned} $$

したがって、$S$ は次のように変形できる。

$$ \begin{aligned} S &= 2k + 11 + \frac{24}{k - 2} \\ &= 2(k - 2) + 4 + 11 + \frac{24}{k - 2} \\ &= 2(k - 2) + \frac{24}{k - 2} + 15 \end{aligned} $$

$k > 2$ より $k - 2 > 0$ であるから、相加平均と相乗平均の大小関係より、以下の不等式が成り立つ。

$$ 2(k - 2) + \frac{24}{k - 2} \geqq 2\sqrt{2(k - 2) \cdot \frac{24}{k - 2}} $$

$$ 2(k - 2) + \frac{24}{k - 2} \geqq 2\sqrt{48} = 8\sqrt{3} $$

両辺に $15$ を加えて、次の結果を得る。

$$ S \geqq 8\sqrt{3} + 15 $$

等号が成立するのは、$2(k - 2) = \frac{24}{k - 2}$ のときである。

$$ (k - 2)^2 = 12 $$

$k - 2 > 0$ より $k - 2 = 2\sqrt{3}$、すなわち $k = 2 + 2\sqrt{3}$ のときである。

この値は $k > 2$ を満たす。また、このとき $x^2 + x - k = 0$ の判別式 $D = 1 + 4k$ は正であり、2つの実数解をもつという前提条件も満たしている。

以上より、求める最小値は $15 + 8\sqrt{3}$ である。

解法2

与式を解と係数の関係を用いて $k$ の式で表し、分子の次数を下げるまでの手順は解法1と同じである。

$$ S = 2k + 11 + \frac{24}{k - 2} $$

これを $k$ の関数 $f(k)$ とおく。$k > 2$ における $f(k)$ の増減を調べるために、微分を行う。

$$ \begin{aligned} f'(k) &= 2 - \frac{24}{(k - 2)^2} \\ &= \frac{2(k - 2)^2 - 24}{(k - 2)^2} \\ &= \frac{2(k^2 - 4k - 8)}{(k - 2)^2} \end{aligned} $$

$f'(k) = 0$ となる $k$ の値を求める。

$$ k^2 - 4k - 8 = 0 $$

$$ k = 2 \pm \sqrt{4 - (-8)} = 2 \pm 2\sqrt{3} $$

$k > 2$ の範囲において、$f'(k) = 0$ となるのは $k = 2 + 2\sqrt{3}$ のみである。

$2 < k < 2 + 2\sqrt{3}$ のとき、$f'(k) < 0$ より $f(k)$ は単調減少する。

$k > 2 + 2\sqrt{3}$ のとき、$f'(k) > 0$ より $f(k)$ は単調増加する。

したがって、$f(k)$ は $k = 2 + 2\sqrt{3}$ のとき、極小かつ最小となる。このときの最小値 $f(2 + 2\sqrt{3})$ を計算する。

$$ \begin{aligned} f(2 + 2\sqrt{3}) &= 2(2 + 2\sqrt{3}) + 11 + \frac{24}{2\sqrt{3}} \\ &= 4 + 4\sqrt{3} + 11 + 4\sqrt{3} \\ &= 15 + 8\sqrt{3} \end{aligned} $$

よって、求める最小値は $15 + 8\sqrt{3}$ である。