数学2 三角関数･最大最小問題 1 解説

方針・初手

与えられた関数 $f(\theta)$ は、$\sin^2\theta$、$\cos^2\theta$、$\sin\theta\cos\theta$ を含む2次同次式である。このような形は、半角の公式と2倍角の公式を用いて $2\theta$ の三角関数で表し、次数を1次へと下げるのが定石である。その後、三角関数の合成を利用して1つの関数にまとめ、与えられた定義域から最大値と最小値を求める。

解法1

半角の公式および2倍角の公式を利用して、$f(\theta)$ を $2\theta$ の式に変形する。

$$\sin^2\theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$$

$$\cos^2\theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$$

$$\sin\theta\cos\theta = \frac{\sin 2\theta}{2}$$

これらを $f(\theta)$ に代入する。

$$f(\theta) = 2 \left( \frac{1 + \cos 2\theta}{2} \right) - \sqrt{3} \left( \frac{\sin 2\theta}{2} \right) + \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$$

$$= 1 + \cos 2\theta - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2\theta + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos 2\theta$$

$$= -\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2\theta + \frac{1}{2}\cos 2\theta + \frac{3}{2}$$

ここで、三角関数の合成を行う。

$$-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2\theta + \frac{1}{2}\cos 2\theta = \sin(2\theta + 150^\circ)$$

したがって、関数 $f(\theta)$ は次のように表される。

$$f(\theta) = \sin(2\theta + 150^\circ) + \frac{3}{2}$$

次に、$2\theta + 150^\circ$ のとりうる値の範囲を求める。問題の条件より、

$$0^\circ \leqq \theta \leqq 90^\circ$$

であるから、各辺を2倍して $150^\circ$ を加えると、

$$0^\circ \leqq 2\theta \leqq 180^\circ$$

$$150^\circ \leqq 2\theta + 150^\circ \leqq 330^\circ$$

この範囲において、$\sin(2\theta + 150^\circ)$ の最大値と最小値を調べる。

(i) 最大値 $150^\circ \leqq 2\theta + 150^\circ \leqq 330^\circ$ において、$\sin$ の値が最大となるのは $2\theta + 150^\circ = 150^\circ$ のときである。このとき、$\sin 150^\circ = \frac{1}{2}$ となり、$\theta = 0^\circ$ である。よって、最大値は $\frac{1}{2} + \frac{3}{2} = 2$ となる。

(ii) 最小値同じ範囲において、$\sin$ の値が最小となるのは $2\theta + 150^\circ = 270^\circ$ のときである。このとき、$\sin 270^\circ = -1$ となり、$2\theta = 120^\circ$ より $\theta = 60^\circ$ である。よって、最小値は $-1 + \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$ となる。

解法2

式変形の途中までは解法1と同様である。

$$f(\theta) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2\theta + \frac{1}{2}\cos 2\theta + \frac{3}{2}$$

項の順序を入れ替える。

$$f(\theta) = \frac{1}{2}\cos 2\theta - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2\theta + \frac{3}{2}$$

加法定理 $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$ に着目し、$\cos$ の形に合成する。$\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$、$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ であるから、

$$f(\theta) = \cos 2\theta \cos 60^\circ - \sin 2\theta \sin 60^\circ + \frac{3}{2}$$

$$= \cos(2\theta + 60^\circ) + \frac{3}{2}$$

角度の範囲を確認する。

$$0^\circ \leqq \theta \leqq 90^\circ$$

$$0^\circ \leqq 2\theta \leqq 180^\circ$$

$$60^\circ \leqq 2\theta + 60^\circ \leqq 240^\circ$$

この範囲で $\cos(2\theta + 60^\circ)$ の最大値と最小値を調べる。

(i) 最大値 $\cos$ の値が最大となるのは $2\theta + 60^\circ = 60^\circ$ のときであり、$\theta = 0^\circ$ である。このとき $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$ であるから、最大値は $\frac{1}{2} + \frac{3}{2} = 2$ となる。

(ii) 最小値 $\cos$ の値が最小となるのは $2\theta + 60^\circ = 180^\circ$ のときであり、$2\theta = 120^\circ$ より $\theta = 60^\circ$ である。このとき $\cos 180^\circ = -1$ であるから、最小値は $-1 + \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$ となる。

解説

$\sin$ と $\cos$ の2次同次式の最大・最小を求める典型的な問題である。「2倍角の公式・半角の公式を用いた次数の引き下げ」と「三角関数の合成」という2つの重要な処理を組み合わせて解く。

合成の際、解法1のように $\sin$ で合成するのが一般的だが、解法2のように加法定理を逆利用して $\cos$ で合成すると、係数の符号が合致しやすくなり計算ミスを減らせる場合がある。どちらの手法を用いてもよいが、合成後の角度の定義域を正確に求め、その範囲内での最大値・最小値を見極めることが最も重要である。