数学2 三角関数･最大最小問題 2 解説

方針・初手

与えられた条件式の三角関数をそれぞれ置き換え、代数的な関係式に帰着させる。$\sin x = u, \cos y = v$ とおくと、和 $u+v = t$ が得られる。また、$\cos x \sin y = t$ の両辺を2乗して相互関係を用いることで積 $uv$ の式を導出する。後半は、和と積から2次方程式を作成し、実数解の存在条件（解の配置問題）に持ち込む。

解法1

(1)

$\sin x = u, \cos y = v$ とおく。条件 $\sin x + \cos y = t$ より、

$$u + v = t \quad \cdots \text{①}$$

また、条件 $\cos x \sin y = t$ の両辺を2乗すると、

$$\cos^2 x \sin^2 y = t^2$$

三角関数の相互関係 $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$, $\sin^2 y = 1 - \cos^2 y$ を用いると、

$$(1 - u^2)(1 - v^2) = t^2$$

展開して整理すると、

$$1 - (u^2 + v^2) + u^2 v^2 = t^2$$

ここで、①より $u^2 + v^2 = (u+v)^2 - 2uv = t^2 - 2uv$ であるから、これを代入して、

$$1 - (t^2 - 2uv) + (uv)^2 = t^2$$

$$(uv)^2 + 2uv + 1 = 2t^2$$

$$(uv + 1)^2 = 2t^2$$

よって、

$$uv + 1 = \pm \sqrt{2} |t|$$

ここで、$-1 \le \sin x \le 1, -1 \le \cos y \le 1$ より $-1 \le u \le 1, -1 \le v \le 1$ であるから、$-1 \le uv \le 1$ となる。したがって $uv + 1 \ge 0$ であるため、

$$uv + 1 = \sqrt{2} |t|$$

$$uv = \sqrt{2} |t| - 1$$

$u = \sin x, v = \cos y$ より、求める式は、

$$\sin x \cos y = \sqrt{2} |t| - 1$$

(2)

(1)より、和 $u+v = t$、積 $uv = \sqrt{2} |t| - 1$ であるから、$u, v$ は $s$ についての2次方程式

$$s^2 - ts + \sqrt{2} |t| - 1 = 0 \quad \cdots \text{②}$$

の2つの解である。条件を満たす実数 $x, y$ が存在するためには、②が $-1 \le s \le 1$ の範囲に2つの実数解（重解を含む）をもてばよい。（このとき、$x, y$ の選び方によって $\cos x \sin y$ の符号は正負どちらも自由に選べるため、$\cos x \sin y = t$ となる $x, y$ が必ず存在する）

$f(s) = s^2 - ts + \sqrt{2} |t| - 1$ とおく。放物線 $y = f(s)$ の軸は $s = \frac{t}{2}$ である。 ②が $-1 \le s \le 1$ に解をもつ条件は、判別式を $D$ とすると以下の4つを同時に満たすことである。

(i) $D \ge 0$

$t^2 = |t|^2$ であることに注意して計算する。

$$D = (-t)^2 - 4(\sqrt{2} |t| - 1) = |t|^2 - 4\sqrt{2} |t| + 4 \ge 0$$

$$(|t| - 2\sqrt{2})^2 - 4 \ge 0$$

$$(|t| - 2\sqrt{2} + 2)(|t| - 2\sqrt{2} - 2) \ge 0$$

よって、$|t| \le 2\sqrt{2} - 2$ または $|t| \ge 2\sqrt{2} + 2$

(ii) $-1 \le \text{軸} \le 1$

$$-1 \le \frac{t}{2} \le 1$$

$$-2 \le t \le 2$$

すなわち $|t| \le 2$

(iii) $f(1) \ge 0$

$$1 - t + \sqrt{2} |t| - 1 \ge 0$$

$$\sqrt{2} |t| \ge t$$

$\sqrt{2}|t| \ge |t| \ge t$ であるから、これはすべての実数 $t$ で成り立つ。

(iv) $f(-1) \ge 0$

$$1 + t + \sqrt{2} |t| - 1 \ge 0$$

$$\sqrt{2} |t| \ge -t$$

同様に $\sqrt{2}|t| \ge |t| \ge -t$ であるから、これもすべての実数 $t$ で成り立つ。

以上 (i) 〜 (iv) より、$|t| \le 2\sqrt{2} - 2$ と $|t| \le 2$ の共通範囲を求める。 $2\sqrt{2} - 2 = \sqrt{8} - 2$ であり、$2 < \sqrt{8} < 3$ より $0 < 2\sqrt{2} - 2 < 1$ であるから、

$$|t| \le 2\sqrt{2} - 2$$

したがって、求める $t$ の範囲は、

$$2 - 2\sqrt{2} \le t \le 2\sqrt{2} - 2$$

解説

三角関数の連立方程式から、対称式（和と積）を作り出す典型的な問題である。$\sin x$ と $\cos y$ をそれぞれ変数とみなし、相互関係を用いて2乗の式を作ることで積を導出するのが基本方針となる。 (1)で絶対値記号が残る点や、(2)で2次方程式の解の配置（解の存在範囲）に帰着させる流れは、論理の飛躍や計算ミスを誘発しやすい。特に $uv \ge -1$ から $uv+1 \ge 0$ を確認して絶対値を外す（負の方を捨てる）議論は必須である。また、求めた $u, v$ から $(x, y)$ が存在することの十分性については、$\cos^2 x = 1 - u^2$ などから $\cos x$ の符号を自由に選べるため、$\cos x \sin y = t$ に合致させることが可能であるという背景がある。