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東京大学 2021年理系第5問解説

方針・初手

2点間の距離の2乗 $f(\theta)$ を立式し、導関数 $f'(\theta)$ を計算して関数の増減を調べる。$f'(\theta) = 0$ となる方程式を直接解くことはできないため、$f'(\theta)$ の符号を決定する部分を新たな関数として取り出し、その関数の単調性や端点での極限を調べることで、中間値の定理から解の存在と個数を示す。

解法1

(1)

2点 $A(-\alpha, -3)$ , $P(\theta + \sin\theta, \cos\theta)$ 間の距離の2乗 $f(\theta)$ は次のように表される。

$$ \begin{aligned} f(\theta) &= \{(\theta + \sin\theta) - (-\alpha)\}^2 + \{\cos\theta - (-3)\}^2 \\ &= (\theta + \sin\theta + \alpha)^2 + (\cos\theta + 3)^2 \end{aligned} $$

これを $\theta$ について微分する。

$$ \begin{aligned} f'(\theta) &= 2(\theta + \sin\theta + \alpha)(\theta + \sin\theta + \alpha)' + 2(\cos\theta + 3)(\cos\theta + 3)' \\ &= 2(\theta + \sin\theta + \alpha)(1 + \cos\theta) + 2(\cos\theta + 3)(-\sin\theta) \\ &= 2 \{ (\theta + \alpha + \sin\theta)(1 + \cos\theta) - (\cos\theta + 3)\sin\theta \} \\ &= 2 \{ (\theta + \alpha)(1 + \cos\theta) + \sin\theta + \sin\theta\cos\theta - \sin\theta\cos\theta - 3\sin\theta \} \\ &= 2 \{ (\theta + \alpha)(1 + \cos\theta) - 2\sin\theta \} \end{aligned} $$

$0 < \theta < \pi$ の範囲において $1 + \cos\theta > 0$ であるため、式全体を $1 + \cos\theta$ でくくり出すと次のようになる。

$$ f'(\theta) = 2(1 + \cos\theta) \left( \theta + \alpha - \frac{2\sin\theta}{1 + \cos\theta} \right) $$

ここで、2倍角の公式（または半角の公式）を用いて $\frac{2\sin\theta}{1 + \cos\theta}$ を変形する。

$$ \frac{2\sin\theta}{1 + \cos\theta} = \frac{4\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}}{2\cos^2\frac{\theta}{2}} = \frac{2\sin\frac{\theta}{2}}{\cos\frac{\theta}{2}} = 2\tan\frac{\theta}{2} $$

したがって、$f'(\theta)$ は次のように書き直せる。

$$ f'(\theta) = 2(1 + \cos\theta) \left( \theta + \alpha - 2\tan\frac{\theta}{2} \right) $$

$f'(\theta) = 0$ となる条件を調べるため、括弧内の式を $h(\theta)$ とおく。

$$ h(\theta) = \theta + \alpha - 2\tan\frac{\theta}{2} $$

$h(\theta)$ を $\theta$ について微分する。

$$ \begin{aligned} h'(\theta) &= 1 - 2 \cdot \frac{1}{\cos^2\frac{\theta}{2}} \cdot \frac{1}{2} \\ &= 1 - \frac{1}{\cos^2\frac{\theta}{2}} \\ &= 1 - \left( 1 + \tan^2\frac{\theta}{2} \right) \\ &= -\tan^2\frac{\theta}{2} \end{aligned} $$

$0 < \theta < \pi$ の範囲において $\tan\frac{\theta}{2} \neq 0$ であるから、$h'(\theta) < 0$ となり、$h(\theta)$ は単調に減少する。

さらに、$\theta$ が区間の両端に近づくときの $h(\theta)$ の極限を調べる。

$$ \lim_{\theta \to +0} h(\theta) = 0 + \alpha - 0 = \alpha $$

問題の条件より $\alpha > 0$ であるため、$\lim_{\theta \to +0} h(\theta) > 0$ である。

$$ \lim_{\theta \to \pi - 0} h(\theta) = \lim_{\theta \to \pi - 0} \left( \theta + \alpha - 2\tan\frac{\theta}{2} \right) = -\infty $$

関数 $h(\theta)$ は $0 < \theta < \pi$ において連続かつ単調減少し、正の値から負の値へ変化するため、中間値の定理により $h(\theta) = 0$ を満たす $\theta$ が $0 < \theta < \pi$ の範囲にただ1つ存在する。

$0 < \theta < \pi$ において $2(1 + \cos\theta) > 0$ であるから、$f'(\theta) = 0$ となる $\theta$ もまた $0 < \theta < \pi$ の範囲にただ1つ存在する。（証明終）

(2)

(1)より、$0 < \theta < \pi$ において $f'(\theta) = 0$ を満たすただ1つの実数を $\beta$ とおく。

$f'(\theta)$ の符号は $h(\theta)$ の符号と一致する。$h(\theta)$ は単調減少であり、$h(\beta) = 0$ を満たすことから、次のような符号変化となる。

$0 < \theta < \beta$ のとき、$h(\theta) > 0$ より $f'(\theta) > 0$
$\beta < \theta < \pi$ のとき、$h(\theta) < 0$ より $f'(\theta) < 0$

したがって、$f(\theta)$ は $0 \leqq \theta \leqq \beta$ で単調に増加し、$\beta \leqq \theta \leqq \pi$ で単調に減少する。これにより、$f(\theta)$ は $\theta = \beta$ において最大値をとることがわかる。

問題の条件「$f(\theta)$ は区間 $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ のある点において最大になる」が成り立つためには、最大値をとる $\theta = \beta$ が区間 $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$ に存在すればよい。

$h(\theta)$ は単調減少する関数であるから、$0 < \beta < \frac{\pi}{2}$ となる条件は $h\left(\frac{\pi}{2}\right) < 0$ である。（$h(0) = \alpha > 0$ は常に満たされている）

$$ h\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{2} + \alpha - 2\tan\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + \alpha - 2 $$

よって、求める条件は次の不等式となる。

$$ \frac{\pi}{2} + \alpha - 2 < 0 $$

これを整理すると、$\alpha < 2 - \frac{\pi}{2}$ を得る。

問題文より $\alpha$ は正の実数であるから、求める $\alpha$ の範囲は $0 < \alpha < 2 - \frac{\pi}{2}$ となる。