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東京大学 2022年理系第1問解説

方針・初手

導関数を計算し、その符号を調べて増減を確かめる。最小値をとる点が分かったら、その点での関数値を計算する。定積分は部分積分で処理する。

解法1

(1)

与えられた関数 $f(x)$ は以下の通りである。

$$ f(x) = (\cos x) \log(\cos x) - \cos x + \int_{0}^{x} (\cos t)\log(\cos t) dt $$

区間 $0 \leqq x < \frac{\pi}{2}$ において $\cos x > 0$ であり、対数の真数条件は満たされている。両辺を $x$ で微分する。積の微分公式と、定積分で表された関数の微分公式を用いる。

$$ f'(x) = (-\sin x)\log(\cos x) + (\cos x) \cdot \frac{-\sin x}{\cos x} - (-\sin x) + (\cos x)\log(\cos x) $$

$$ f'(x) = -\sin x \log(\cos x) - \sin x + \sin x + \cos x \log(\cos x) $$

$$ f'(x) = (\cos x - \sin x) \log(\cos x) $$

区間 $0 \leqq x < \frac{\pi}{2}$ において、$0 < \cos x \leqq 1$ であるから、常に $\log(\cos x) \leqq 0$ が成り立つ。等号が成立するのは $\cos x = 1$、すなわち $x = 0$ のときのみである。したがって、$0 < x < \frac{\pi}{2}$ においては $\log(\cos x) < 0$ であるため、$f'(x)$ の符号は $\cos x - \sin x$ の符号と逆になる。

$f'(x) = 0$ となる $x$ を区間 $0 \leqq x < \frac{\pi}{2}$ で探すと、$\log(\cos x) = 0$ より $x = 0$、または $\cos x - \sin x = 0$ より $\tan x = 1$ すなわち $x = \frac{\pi}{4}$ である。

これをもとに増減表を作成する。

$0 < x < \frac{\pi}{4}$ では $\cos x - \sin x > 0$ かつ $\log(\cos x) < 0$ であるから、$f'(x) < 0$ となる。

$\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2}$ では $\cos x - \sin x < 0$ かつ $\log(\cos x) < 0$ であるから、$f'(x) > 0$ となる。

したがって $f(x)$ は $0 < x < \frac{\pi}{4}$ で減少し、$\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2}$ で増加する。ゆえに、$f(x)$ は $x = \frac{\pi}{4}$ で極小かつ最小となる。よって、$f(x)$ は区間 $0 \leqq x < \frac{\pi}{2}$ において最小値を持つことが示された。

(2)

(1) の結果より、求める最小値は $f\left(\frac{\pi}{4}\right)$ である。これを計算する。

$$ f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \cos\frac{\pi}{4} \log\left(\cos\frac{\pi}{4}\right) - \cos\frac{\pi}{4} + \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos t)\log(\cos t) dt $$

ここで、定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos t)\log(\cos t) dt$ を部分積分法を用いて計算する。

$$ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos t)\log(\cos t) dt = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\sin t)' \log(\cos t) dt $$

$$ = \Big[ \sin t \log(\cos t) \Big]_{0}^{\frac{\pi}{4}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin t \cdot \frac{-\sin t}{\cos t} dt $$

$$ = \sin\frac{\pi}{4} \log\left(\cos\frac{\pi}{4}\right) - 0 + \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin^2 t}{\cos t} dt $$

$$ = \frac{1}{\sqrt{2}} \log\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) + \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1 - \cos^2 t}{\cos t} dt $$

$$ = -\frac{\sqrt{2}}{4} \log 2 + \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\cos t} dt - \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos t dt $$

ここで、残りの定積分をそれぞれ計算する。

$$ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos t dt = \Big[ \sin t \Big]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $$

$$ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\cos t} dt = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos t}{\cos^2 t} dt = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos t}{1 - \sin^2 t} dt $$

$u = \sin t$ と置換すると、$du = \cos t dt$ であり、積分区間は $t: 0 \rightarrow \frac{\pi}{4}$ のとき $u: 0 \rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}$ となる。

$$ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos t}{1 - \sin^2 t} dt = \int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{1}{1 - u^2} du $$

部分分数分解を行う。

$$ = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \left( \frac{1}{1+u} + \frac{1}{1-u} \right) du $$

$$ = \frac{1}{2} \left[ \log|1+u| - \log|1-u| \right]_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{1}{2} \left[ \log \left| \frac{1+u}{1-u} \right| \right]_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} $$

$$ = \frac{1}{2} \log \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{2}}}{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}} - \frac{1}{2} \log 1 = \frac{1}{2} \log \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1} $$

分母を有利化する。

$$ = \frac{1}{2} \log \frac{(\sqrt{2} + 1)^2}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} = \frac{1}{2} \log (\sqrt{2} + 1)^2 = \log(\sqrt{2} + 1) $$

これらの結果を定積分の式に代入する。

$$ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos t)\log(\cos t) dt = -\frac{\sqrt{2}}{4} \log 2 + \log(\sqrt{2} + 1) - \frac{\sqrt{2}}{2} $$

最後に、これを $f\left(\frac{\pi}{4}\right)$ の式に代入して最小値を求める。

$$ f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \log\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) - \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{2}}{4} \log 2 + \log(\sqrt{2} + 1) - \frac{\sqrt{2}}{2} $$

$$ = -\frac{\sqrt{2}}{4} \log 2 - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4} \log 2 + \log(\sqrt{2} + 1) - \frac{\sqrt{2}}{2} $$

$$ = -\frac{\sqrt{2}}{2} \log 2 - \sqrt{2} + \log(\sqrt{2} + 1) $$