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大阪大学 2020年文系第1問解説

方針・初手

(1) 極大値についての問題であるから、まずは $f(x)$ を $x$ について微分して導関数 $f'(x)$ を求め、$f'(x)=0$ の解を調べる。解の大小関係を比較し、増減表を作成して極大値の存在と個数、そしてその値を確認する。

(2) (1)で求めた $M(a)$ は $\sin a$ の式になるので、$\sin a = t$ とおき、$t$ の2次関数として最大・最小を考える。$a$ の範囲から $t$ の変域を正しく求めることがポイントである。

解法1

(1)

$f(x) = 2x^3 - (6 + 3\sin a)x^2 + (12\sin a)x + \sin^3 a + 6\sin a + 5$ を $x$ について微分すると、

$$ \begin{aligned} f'(x) &= 6x^2 - 2(6 + 3\sin a)x + 12\sin a \\ &= 6 \left\{ x^2 - (2 + \sin a)x + 2\sin a \right\} \\ &= 6(x - 2)(x - \sin a) \end{aligned} $$

$f'(x) = 0$ とすると、$x = 2, \sin a$ である。

ここで、$0 \leqq a < 2\pi$ であるから、$-1 \leqq \sin a \leqq 1$ が成り立つ。

したがって、常に $\sin a < 2$ である。

よって、$f(x)$ の増減表は以下のようになる。

$x$	$\cdots$	$\sin a$	$\cdots$	$2$	$\cdots$
$f'(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$\nearrow$	極大	$\searrow$	極小	$\nearrow$

増減表より、$f(x)$ は $x = \sin a$ のとき極大となり、極大値はただ1つである。（証明終）

その極大値 $M(a)$ は、

$$ \begin{aligned} M(a) &= f(\sin a) \\ &= 2\sin^3 a - (6 + 3\sin a)\sin^2 a + 12\sin^2 a + \sin^3 a + 6\sin a + 5 \\ &= 2\sin^3 a - 6\sin^2 a - 3\sin^3 a + 12\sin^2 a + \sin^3 a + 6\sin a + 5 \\ &= 6\sin^2 a + 6\sin a + 5 \end{aligned} $$

(2)

(1)より、$M(a) = 6\sin^2 a + 6\sin a + 5$ である。

$\sin a = t$ とおくと、$0 \leqq a < 2\pi$ より $t$ のとり得る値の範囲は

$$ -1 \leqq t \leqq 1 $$

である。

$M(a)$ を $t$ の関数とみて $g(t)$ とすると、

$$ \begin{aligned} g(t) &= 6t^2 + 6t + 5 \\ &= 6 \left( t^2 + t \right) + 5 \\ &= 6 \left( t^2 + t + \frac{1}{4} \right) - \frac{6}{4} + 5 \\ &= 6 \left( t + \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{7}{2} \end{aligned} $$

$g(t)$ は $t = -\frac{1}{2}$ を軸とする下に凸の放物線であり、$-1 \leqq t \leqq 1$ における最大値と最小値を求める。

$t = 1$ のとき、最大値 $g(1) = 6 \cdot 1^2 + 6 \cdot 1 + 5 = 17$ をとる。

$t = 1$ すなわち $\sin a = 1$ となる $a$ の値は、$0 \leqq a < 2\pi$ より $a = \frac{\pi}{2}$ である。

$t = -\frac{1}{2}$ のとき、最小値 $g \left( -\frac{1}{2} \right) = \frac{7}{2}$ をとる。

$t = -\frac{1}{2}$ すなわち $\sin a = -\frac{1}{2}$ となる $a$ の値は、$0 \leqq a < 2\pi$ より $a = \frac{7}{6}\pi, \frac{11}{6}\pi$ である。

解説

(1)の極値をもつ条件についての基本的な問題である。導関数 $f'(x) = 0$ が異なる2つの実数解をもつことを示す過程で、定数 $2$ と文字式 $\sin a$ の大小関係を明記することが重要である。$-1 \leqq \sin a \leqq 1$ という三角関数の基本的な性質から、$\sin a < 2$ は容易に示される。

(2)では、変数を置き換えて2次関数の最大・最小問題に帰着させる。$\sin a = t$ のように置き換えた場合は、置き換えた文字 $t$ の変域を必ず確認すること。今回は定義域の端点ではなく、区間内に頂点が含まれるため、最小値は頂点でとり、最大値は軸から遠い方の端点である $t = 1$ でとる。