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東京大学 2025年理系第3問解説

方針・初手

(1) 長方形の面積は、内部の平行四辺形 $ABCD$ の面積と、長方形の四隅にある4つの直角三角形の面積の和として計算するのが図形的に最も明快である。あるいは、長方形の辺を座標軸に重ねて各頂点の座標を求め、縦と横の長さを直接導出してもよい。図形的性質から各角の大きさを $\theta$ を用いて表し、面積を立式する。

(2) (1)で得られた式を $\sin 2\theta, \cos 2\theta$ の一次結合に整理し、三角関数の合成または導関数を用いて最大値を求める。その際、定義域 $0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{6}$ に極大値を与える角度が含まれるかどうかで、$a, b$ の関係による場合分けが必要になることに注意する。

解法1

(1)

長方形 $EFGH$ の面積 $S$ は、内部の平行四辺形 $ABCD$ の面積と、周囲の4つの直角三角形 $\triangle ABF$, $\triangle BCG$, $\triangle CDH$, $\triangle DAE$ の面積の和である。

平行四辺形および長方形の点対称性から、$\triangle ABF \equiv \triangle CDH$、$\triangle BCG \equiv \triangle DAE$ が成り立つ。直角三角形 $\triangle BCG$ において、$\angle G = \frac{\pi}{2}$、$\angle BCG = \theta$ であるから、

$$ \angle CBG = \frac{\pi}{2} - \theta $$

である。

長方形の辺 $FG$ 上に点 $B$ があり、頂点 $A, C$ は直線 $FG$ に関して同じ側（長方形の内部）にあるため、点 $B$ の周りの角について $\angle ABF + \angle ABC + \angle CBG = \pi$ が成り立つ。問題の条件より $\angle ABC = \frac{\pi}{6}$ であるから、

$$ \angle ABF = \pi - \left(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2} - \theta\right) = \frac{\pi}{3} + \theta $$

となる。さらに、直角三角形 $\triangle ABF$ において $\angle F = \frac{\pi}{2}$ より、

$$ \angle BAF = \frac{\pi}{2} - \left(\frac{\pi}{3} + \theta\right) = \frac{\pi}{6} - \theta $$

である。なお、図形が構成されるためには $\angle BAF \geqq 0$ が必要であり、これと $\theta \geqq 0$ より $0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{6}$ である。

各図形の面積を計算する。

平行四辺形 $ABCD$ の面積：

$$ AB \cdot BC \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} a b $$

$\triangle BCG$ の面積：

$$ \frac{1}{2} BC^2 \sin \theta \cos \theta = \frac{1}{4} b^2 \sin 2\theta $$

$\triangle ABF$ の面積：

$$ \frac{1}{2} AB^2 \sin\left(\frac{\pi}{6} - \theta\right) \cos\left(\frac{\pi}{6} - \theta\right) = \frac{1}{4} a^2 \sin\left(\frac{\pi}{3} - 2\theta\right) $$

これらを合計して、面積 $S$ は次のように表される。

$$ S = \frac{1}{2} a b + 2 \cdot \frac{1}{4} b^2 \sin 2\theta + 2 \cdot \frac{1}{4} a^2 \sin\left(\frac{\pi}{3} - 2\theta\right) $$

よって、求める面積 $S$ は、

$$ S = \frac{1}{2} a^2 \sin\left(\frac{\pi}{3} - 2\theta\right) + \frac{1}{2} b^2 \sin 2\theta + \frac{1}{2} a b $$

(2)

(1)で求めた $S$ の式において、加法定理を用いて展開し整理する。

$$ \begin{aligned} S &= \frac{1}{2} a^2 \left( \sin \frac{\pi}{3} \cos 2\theta - \cos \frac{\pi}{3} \sin 2\theta \right) + \frac{1}{2} b^2 \sin 2\theta + \frac{1}{2} a b \\ &= \frac{2b^2 - a^2}{4} \sin 2\theta + \frac{\sqrt{3}a^2}{4} \cos 2\theta + \frac{1}{2} a b \end{aligned} $$

ここで、$x = 2\theta$ とおき、関数 $g(x)$ を次のように定める。定義域は $0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{6}$ より $0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{3}$ である。

$$ g(x) = \frac{2b^2 - a^2}{4} \sin x + \frac{\sqrt{3}a^2}{4} \cos x $$

$g(x)$ を $x$ で微分する。

$$ g'(x) = \frac{2b^2 - a^2}{4} \cos x - \frac{\sqrt{3}a^2}{4} \sin x $$

$g'(x) = 0$ となる条件を考える。区間 $0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{3}$ において $\cos x \neq 0$ であるため、両辺を $\cos x$ で割ると、

$$ \tan x = \frac{2b^2 - a^2}{\sqrt{3}a^2} $$

となる。ここで、問題の条件 $a \leqq b$ より、$\frac{2b^2 - a^2}{\sqrt{3}a^2} \geqq \frac{a^2}{\sqrt{3}a^2} = \frac{1}{\sqrt{3}} > 0$ である。 $\tan x$ は $0 \leqq x < \frac{\pi}{2}$ において単調増加であるから、$g'(x) = 0$ となる $x$ が区間 $0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{3}$ に存在するための条件は、

$$ \frac{2b^2 - a^2}{\sqrt{3}a^2} \leqq \tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} $$

これを整理して、

$$ 2b^2 - a^2 \leqq 3a^2 \iff 2b^2 \leqq 4a^2 \iff b \leqq \sqrt{2}a $$

を得る。（$a>0, b>0$ より）この結果に基づき、場合分けを行う。

(i) $a \leqq b \leqq \sqrt{2}a$ のとき

区間 $0 < x \leqq \frac{\pi}{3}$ 内に $g'(x) = 0$ となる $x$（これを $\alpha$ とする）がただ一つ存在する。 $0 \leqq x < \alpha$ で $g'(x) > 0$、$\alpha < x \leqq \frac{\pi}{3}$ で $g'(x) < 0$ となるため、$g(x)$ は $x = \alpha$ において極大かつ最大となる。このとき、$\tan \alpha = \frac{2b^2 - a^2}{\sqrt{3}a^2}$ であり、$\sin \alpha$ と $\cos \alpha$ を用いて $g(\alpha)$ を計算すると（または三角関数の合成公式より）、最大値は

$$ g(\alpha) = \sqrt{\left(\frac{2b^2 - a^2}{4}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}a^2}{4}\right)^2} = \frac{1}{2}\sqrt{a^4 - a^2 b^2 + b^4} $$

となる。したがって、$S$ の最大値は

$$ \frac{1}{2}\sqrt{a^4 - a^2 b^2 + b^4} + \frac{1}{2} a b $$

(ii) $b > \sqrt{2}a$ のとき

$\frac{2b^2 - a^2}{\sqrt{3}a^2} > \sqrt{3}$ であり、区間 $0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{3}$ におけるすべての $x$ に対して $\tan x \leqq \sqrt{3} < \frac{2b^2 - a^2}{\sqrt{3}a^2}$ が成り立つ。したがって、この区間で常に

$$ g'(x) = \frac{\sqrt{3}a^2}{4} \cos x \left( \frac{2b^2 - a^2}{\sqrt{3}a^2} - \tan x \right) > 0 $$

となり、$g(x)$ は単調増加する。よって、$g(x)$ は $x = \frac{\pi}{3}$ （すなわち $\theta = \frac{\pi}{6}$）のとき最大値をとる。

$$ g\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{2b^2 - a^2}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}a^2}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{2\sqrt{3}b^2 - \sqrt{3}a^2 + \sqrt{3}a^2}{8} = \frac{\sqrt{3}}{4} b^2 $$

したがって、$S$ の最大値は

$$ \frac{\sqrt{3}}{4} b^2 + \frac{1}{2} a b $$

解法2

(1)の別解（座標を用いた解法）

点 $F$ を原点とする直交座標系を設定し、直線 $FG$ を $x$ 軸、直線 $FE$ を $y$ 軸とする。長方形の横の長さを $L_1$、縦の長さを $L_2$ とすると、各頂点は $F(0,0)$、$G(L_1, 0)$、$H(L_1, L_2)$、$E(0, L_2)$ と表せる。条件より、$B$ は辺 $FG$ 上、$C$ は辺 $GH$ 上にある。直角三角形 $\triangle BCG$ において $BC = b$, $\angle BCG = \theta$ より、

$$ BG = b \sin \theta, \quad CG = b \cos \theta $$

であるから、$B(L_1 - b \sin \theta, 0)$、$C(L_1, b \cos \theta)$ となる。また、$A$ は辺 $EF$（$y$ 軸）上にあるから、$A(0, y_A)$ ($y_A \geqq 0$) とおく。ベクトル $\vec{BA} = (-L_1 + b \sin \theta, y_A)$ について、$|\vec{BA}| = a$ より、$L_1 - b \sin \theta = a \sin \alpha$, $y_A = a \cos \alpha$ ($0 \leqq \alpha \leqq \frac{\pi}{2}$) とおける。このとき $\vec{BA} = (-a \sin \alpha, a \cos \alpha)$ であり、$\vec{BC} = (b \sin \theta, b \cos \theta)$ である。 $\angle ABC = \frac{\pi}{6}$ より、これら2つのベクトルのなす角は $\frac{\pi}{6}$ だから、内積について

$$ \vec{BA} \cdot \vec{BC} = a b (-\sin \alpha \sin \theta + \cos \alpha \cos \theta) = a b \cos(\alpha + \theta) = a b \cos \frac{\pi}{6} $$

が成り立つ。$\alpha, \theta \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ より $\alpha + \theta = \frac{\pi}{6}$、すなわち $\alpha = \frac{\pi}{6} - \theta$ を得る。これより長方形の横の長さ $L_1$ は、

$$ L_1 = a \sin\left(\frac{\pi}{6} - \theta\right) + b \sin \theta $$

となる。また、$D$ は辺 $HE$ 上にあるので、$y$ 座標は $L_2$ である。$\vec{AD} = \vec{BC} = (b \sin \theta, b \cos \theta)$ より $D(b \sin \theta, y_A + b \cos \theta)$ であり、

$$ L_2 = y_A + b \cos \theta = a \cos\left(\frac{\pi}{6} - \theta\right) + b \cos \theta $$

を得る。したがって、面積 $S = L_1 L_2$ を計算し加法定理で整理することで、解法1と同じ式が得られる。

解説

(1)は図形的に分割して面積を足し合わせる手法が最も計算量が少なく、ミスを防ぎやすい。(2)は $\sin 2\theta$ と $\cos 2\theta$ の一次式であるため、定石通り三角関数の合成（または微分）を行って最大値を調べる。その際、角の定義域である $0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{6}$ に極値が存在するかどうかを $\tan x$ の値などで境界判定することが本問の核心であり、変数 $a, b$ の大小関係に基づく正確な場合分けが求められる。