数学2 三角関数･最大最小問題 35 解説

方針・初手

半径が与えられた外接円に内接する三角形の計量問題である。まずは正弦定理を用いて、三角形の各辺の長さを角の正弦（サイン）で表すことから始める。面積 $S$ については、2辺とその間の角を用いた公式を利用する。内接円の半径 $r$ については、面積と3辺の長さの関係式 $S = \frac{1}{2}r(a+b+c)$ を用いて立式し、三角関数の公式を駆使して式を簡単な1変数の関数に帰着させる。

解法1

(1)

$\triangle\text{ABC}$ の外接円の半径を $R$、各角に対する辺の長さをそれぞれ $a, b, c$ とおく。条件より $R = 1$ である。正弦定理より、

$$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R = 2$$

よって、$a = 2\sin \alpha$、$b = 2\sin \beta$、$c = 2\sin \gamma$ と表せる。 $\triangle\text{ABC}$ の面積 $S$ は、

$$S = \frac{1}{2}bc \sin \alpha = \frac{1}{2}(2\sin \beta)(2\sin \gamma)\sin \alpha = 2\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma$$

(2)

$\alpha = \frac{\pi}{6}$ のとき、三角形の内角の和は $\pi$ であるから、$\beta + \gamma = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5}{6}\pi$ である。 (1) の結果に代入すると、

$$S = 2\sin \frac{\pi}{6} \sin \beta \sin \gamma = \sin \beta \sin \gamma$$

積和の公式を用いて変形する。

$$S = -\frac{1}{2} \{ \cos(\beta + \gamma) - \cos(\beta - \gamma) \}$$

$$S = -\frac{1}{2} \left( \cos \frac{5}{6}\pi - \cos(\beta - \gamma) \right) = \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2}\cos(\beta - \gamma)$$

$\beta > 0$、$\gamma > 0$ かつ $\beta + \gamma = \frac{5}{6}\pi$ より、$\beta - \gamma$ のとりうる値の範囲は $-\frac{5}{6}\pi < \beta - \gamma < \frac{5}{6}\pi$ である。この範囲において、$\cos(\beta - \gamma)$ は $\beta - \gamma = 0$ すなわち $\beta = \gamma = \frac{5}{12}\pi$ のとき、最大値 $1$ をとる。よって、$S$ の最大値は、

$$\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{2+\sqrt{3}}{4}$$

(3)

$\alpha = \beta$ のとき、$\gamma = \pi - 2\alpha$ である。三角形の内角であるから $\gamma > 0$ より、$\pi - 2\alpha > 0$ すなわち $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ である。 (1) より、3辺の長さはそれぞれ以下のように表せる。

$$a = 2\sin \alpha$$

$$b = 2\sin \alpha$$

$$c = 2\sin(\pi - 2\alpha) = 2\sin 2\alpha = 4\sin \alpha \cos \alpha$$

また、面積 $S$ は、

$$S = 2\sin^2 \alpha \sin(\pi - 2\alpha) = 2\sin^2 \alpha \sin 2\alpha = 4\sin^3 \alpha \cos \alpha$$

$\triangle\text{ABC}$ の内接円の半径を $r$ とすると、$S = \frac{1}{2}r(a+b+c)$ が成り立つから、

$$r = \frac{2S}{a+b+c} = \frac{8\sin^3 \alpha \cos \alpha}{2\sin \alpha + 2\sin \alpha + 4\sin \alpha \cos \alpha} = \frac{8\sin^3 \alpha \cos \alpha}{4\sin \alpha (1+\cos \alpha)} = \frac{2\sin^2 \alpha \cos \alpha}{1+\cos \alpha}$$

ここで、$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = (1-\cos \alpha)(1+\cos \alpha)$ を代入する。

$$r = \frac{2(1-\cos \alpha)(1+\cos \alpha)\cos \alpha}{1+\cos \alpha} = 2\cos \alpha(1-\cos \alpha)$$

$t = \cos \alpha$ とおく。$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ より、$0 < t < 1$ である。 $r$ を $t$ の関数として表すと、

$$r = 2t(1-t) = -2t^2 + 2t = -2\left(t - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2}$$

$0 < t < 1$ において、関数は $t = \frac{1}{2}$ のとき最大値 $\frac{1}{2}$ をとる。 $t = \frac{1}{2}$ となるのは $\cos \alpha = \frac{1}{2}$、すなわち $\alpha = \frac{\pi}{3}$ のときであり、これは条件を満たす（このとき正三角形となる）。よって、求める $r$ の最大値は $\frac{1}{2}$ である。

解法2

(2) について、図形的な考察を用いる別解を示す。

外接円が固定されており、$\alpha = \angle\text{A} = \frac{\pi}{6}$ と一定であるから、正弦定理により対辺 $\text{BC}$ の長さも一定である。したがって、線分 $\text{BC}$ を底辺とみたとき、$\triangle\text{ABC}$ の面積 $S$ が最大となるのは、底辺に対する高さが最大のときである。これは、頂点 $\text{A}$ が、弦 $\text{BC}$ の垂直二等分線と外接円の交点のうち、直線 $\text{BC}$ から遠い方の点に一致するとき、すなわち $\triangle\text{ABC}$ が $\text{AB} = \text{AC}$ の二等辺三角形となるときである。このとき $\beta = \gamma$ であり、$\alpha = \frac{\pi}{6}$ より、

$$\beta = \gamma = \frac{1}{2}\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = \frac{5}{12}\pi$$

となる。(1) の結果に代入して面積 $S$ を計算すると、半角の公式より、

$$\begin{aligned} S &= 2 \sin \frac{\pi}{6} \sin^2 \frac{5}{12}\pi \\ &= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1 - \cos \frac{5}{6}\pi}{2} \\ &= \frac{1 - \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}{2} \\ &= \frac{2+\sqrt{3}}{4} \end{aligned}$$

解説

図形の計量と三角関数の最大・最小を絡めた標準的な問題である。 (2) は積和の公式を用いて変数をまとめるか、解法2のように幾何的な対称性から「二等辺三角形のときに面積が最大になる」という事実を利用すると見通しがよい。 (3) では、$r = \frac{2S}{a+b+c}$ に代入した後の式変形が鍵となる。分母に $1+\cos\alpha$ が現れるため、分子の $\sin^2\alpha$ を $1-\cos^2\alpha = (1-\cos\alpha)(1+\cos\alpha)$ に書き換えて約分するという方針に気づけるかが計算量と正確性を大きく左右する。最終的に $\alpha = \beta = \gamma = \frac{\pi}{3}$ の正三角形のときに内接円が最大になるという結果も、図形的な直感と一致する。