数学2 相加相乗平均の関係問題 1 解説

方針・初手

分母に文字を含む不等式の証明である。右辺の分母を払うように、両辺に正の式を掛けて左辺を展開する方針をとる。展開した式に対して相加平均と相乗平均の大小関係を利用して下限を求めるか、あるいは初手からコーシー・シュワルツの不等式を適用することで鮮やかに証明できる。

解法1

(1)

すべての文字は正数であるから、$am+bn > 0$ である。不等式 $\frac{m}{a} + \frac{n}{b} \geqq \frac{1}{am+bn}$ の両辺に $am+bn$ を掛けると、

$$\left( \frac{m}{a} + \frac{n}{b} \right)(am+bn) \geqq 1$$

となる。この左辺を展開すると、

$$\begin{aligned} \left( \frac{m}{a} + \frac{n}{b} \right)(am+bn) &= m^2 + \frac{b}{a}mn + \frac{a}{b}mn + n^2 \\ &= m^2 + n^2 + mn \left( \frac{b}{a} + \frac{a}{b} \right) \end{aligned}$$

となる。ここで、$a>0, b>0$ より $\frac{b}{a}>0, \frac{a}{b}>0$ であるから、相加平均と相乗平均の大小関係より、

$$\frac{b}{a} + \frac{a}{b} \geqq 2\sqrt{\frac{b}{a} \cdot \frac{a}{b}} = 2$$

が成り立つ（等号成立は $\frac{b}{a} = \frac{a}{b}$ すなわち $a=b$ のとき）。また、$m>0, n>0$ より $mn>0$ であるから、

$$\begin{aligned} m^2 + n^2 + mn \left( \frac{b}{a} + \frac{a}{b} \right) &\geqq m^2 + n^2 + 2mn \\ &= (m+n)^2 \end{aligned}$$

仮定より $m+n=1$ であるから、

$$(m+n)^2 = 1^2 = 1$$

したがって、$\left( \frac{m}{a} + \frac{n}{b} \right)(am+bn) \geqq 1$ が示された。両辺を正の数 $am+bn$ で割ることで、

$$\frac{m}{a} + \frac{n}{b} \geqq \frac{1}{am+bn}$$

が成り立つ。

(2)

(1)と同様に、$ap+bq+cr > 0$ であるから、示すべき不等式の両辺に $ap+bq+cr$ を掛けた式を考える。

$$\begin{aligned} &\left( \frac{p}{a} + \frac{q}{b} + \frac{r}{c} \right)(ap+bq+cr) \\ &= p^2 + q^2 + r^2 + pq\left(\frac{b}{a} + \frac{a}{b}\right) + qr\left(\frac{c}{b} + \frac{b}{c}\right) + rp\left(\frac{a}{c} + \frac{c}{a}\right) \end{aligned}$$

(1)と同様に相加平均と相乗平均の大小関係より、以下の3つの不等式が成り立つ。

$$\begin{aligned} \frac{b}{a} + \frac{a}{b} &\geqq 2 \\ \frac{c}{b} + \frac{b}{c} &\geqq 2 \\ \frac{a}{c} + \frac{c}{a} &\geqq 2 \end{aligned}$$

各文字は正数なので $pq>0, qr>0, rp>0$ であり、

$$\begin{aligned} &\left( \frac{p}{a} + \frac{q}{b} + \frac{r}{c} \right)(ap+bq+cr) \\ &\geqq p^2 + q^2 + r^2 + 2pq + 2qr + 2rp \\ &= (p+q+r)^2 \end{aligned}$$

仮定より $p+q+r=1$ であるから、

$$(p+q+r)^2 = 1^2 = 1$$

よって、$\left( \frac{p}{a} + \frac{q}{b} + \frac{r}{c} \right)(ap+bq+cr) \geqq 1$ が示された。両辺を正の数 $ap+bq+cr$ で割ることで、

$$\frac{p}{a} + \frac{q}{b} + \frac{r}{c} \geqq \frac{1}{ap+bq+cr}$$

が成り立つ。

解法2

(1)

コーシー・シュワルツの不等式 $(x^2+y^2)(X^2+Y^2) \geqq (xX+yY)^2$ において、

$$x = \sqrt{\frac{m}{a}}, \quad y = \sqrt{\frac{n}{b}}, \quad X = \sqrt{am}, \quad Y = \sqrt{bn}$$

とすると、各文字は正数であるからこれらはすべて正の実数として定義できる。不等式に代入すると、

$$\left( \left(\sqrt{\frac{m}{a}}\right)^2 + \left(\sqrt{\frac{n}{b}}\right)^2 \right) \left( (\sqrt{am})^2 + (\sqrt{bn})^2 \right) \geqq \left( \sqrt{\frac{m}{a}}\sqrt{am} + \sqrt{\frac{n}{b}}\sqrt{bn} \right)^2$$

$$\left( \frac{m}{a} + \frac{n}{b} \right) (am+bn) \geqq (m+n)^2$$

仮定より $m+n=1$ なので、

$$\left( \frac{m}{a} + \frac{n}{b} \right) (am+bn) \geqq 1$$

$am+bn > 0$ より、両辺を $am+bn$ で割ることで、

$$\frac{m}{a} + \frac{n}{b} \geqq \frac{1}{am+bn}$$

が成り立つ。

(2)

同様に、3つの項のコーシー・シュワルツの不等式 $(x^2+y^2+z^2)(X^2+Y^2+Z^2) \geqq (xX+yY+zZ)^2$ を用いる。

$$x = \sqrt{\frac{p}{a}}, \quad y = \sqrt{\frac{q}{b}}, \quad z = \sqrt{\frac{r}{c}}, \quad X = \sqrt{ap}, \quad Y = \sqrt{bq}, \quad Z = \sqrt{cr}$$

とすると、

$$\left( \left(\sqrt{\frac{p}{a}}\right)^2 + \left(\sqrt{\frac{q}{b}}\right)^2 + \left(\sqrt{\frac{r}{c}}\right)^2 \right) \left( (\sqrt{ap})^2 + (\sqrt{bq})^2 + (\sqrt{cr})^2 \right) \geqq \left( \sqrt{\frac{p}{a}}\sqrt{ap} + \sqrt{\frac{q}{b}}\sqrt{bq} + \sqrt{\frac{r}{c}}\sqrt{cr} \right)^2$$

$$\left( \frac{p}{a} + \frac{q}{b} + \frac{r}{c} \right) (ap+bq+cr) \geqq (p+q+r)^2$$

仮定より $p+q+r=1$ なので、

$$\left( \frac{p}{a} + \frac{q}{b} + \frac{r}{c} \right) (ap+bq+cr) \geqq 1$$

$ap+bq+cr > 0$ より、両辺を $ap+bq+cr$ で割ることで、

$$\frac{p}{a} + \frac{q}{b} + \frac{r}{c} \geqq \frac{1}{ap+bq+cr}$$

が成り立つ。

解説

相加平均と相乗平均の大小関係、またはコーシー・シュワルツの不等式を用いる典型的な不等式証明である。分数式が和になっている不等式では、分母を払うように両辺に式を掛けて展開し、相加平均と相乗平均の大小関係を適用しやすい形に持ち込む方針が定石である。また、コーシー・シュワルツの不等式を用いると、変数の数が増えた(2)のような場合でも、(1)と全く同じ発想で機械的に証明できるため強力な解法となる。