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京都大学 2025年文系第1問解説

方針・初手

問1は、指数の形で与えられた等式を扱う。すべての辺の値を $k$ とおいて各底について解くか、各辺の対数をとることで $x, y, z$ の関係式を導く。その際、$2025$ の素因数分解（$2025 = 3^4 \cdot 5^2$）を利用する。問2は、整数の整除問題である。割られる式と割る式がともに $n$ の多項式であるため、まずは多項式としての割り算を行い、次数を下げる。余りが割る式で割り切れる条件を、余りが $0$ の場合とそうでない場合に分けて考える。

解法1

問1

$2025 = 25 \times 81 = 3^4 \cdot 5^2$ である。与えられた等式 $2025^x = 3^y = 5^z$ の値を $k$ とおく。 $k > 0$ である。

(i) $k = 1$ のとき

$x = y = z = 0$ となり、$2xy + 4xz - yz = 0$ は明らかに成り立つ。

(ii) $k \neq 1$ のとき

$x, y, z$ はすべて $0$ ではない。 $2025^x = k$ より $2025 = k^{\frac{1}{x}}$ $3^y = k$ より $3 = k^{\frac{1}{y}}$ $5^z = k$ より $5 = k^{\frac{1}{z}}$ これらを $2025 = 3^4 \cdot 5^2$ に代入すると、 $k^{\frac{1}{x}} = \left(k^{\frac{1}{y}}\right)^4 \cdot \left(k^{\frac{1}{z}}\right)^2 = k^{\frac{4}{y} + \frac{2}{z}}$ $k \neq 1$ より、指数を比較して $\frac{1}{x} = \frac{4}{y} + \frac{2}{z}$ 両辺に $xyz$ （$\neq 0$）を掛けると、 $yz = 4xz + 2xy$ 移項して整理すると、 $2xy + 4xz - yz = 0$

(i), (ii) より、いずれの場合も $2xy + 4xz - yz = 0$ が示された。

問2

$n^4 + 6n^2 + 23$ を $n^2 + n + 3$ で割ると、 $n^4 + 6n^2 + 23 = (n^2 + n + 3)(n^2 - n + 4) - n + 11$ となる。 $n$ は正の整数であるから、$n^2 + n + 3$ は整数であり、$n^2 - n + 4 = n(n - 1) + 4 > 0$ より整数である。したがって、$n^4 + 6n^2 + 23$ が $n^2 + n + 3$ で割り切れるための必要十分条件は、余り $-n + 11$ が $n^2 + n + 3$ で割り切れることである。

(i) $-n + 11 = 0$ のとき

$n = 11$ であり、このとき余りは $0$ となるため条件を満たす。

(ii) $-n + 11 \neq 0$ のとき

$-n + 11$ が $n^2 + n + 3$ の倍数であるためには、 $|-n + 11| \ge n^2 + n + 3$ が成り立つ必要がある。 $n$ は正の整数より $n \ge 1$ であるから、$n^2 + n + 3 > 0$。

・$-n + 11 > 0$ すなわち $1 \le n \le 10$ のとき

$-n + 11 \ge n^2 + n + 3$ $n^2 + 2n - 8 \le 0$ $(n + 4)(n - 2) \le 0$ $n \ge 1$ であるから、これを満たす整数 $n$ は $n = 1, 2$。

・$-n + 11 < 0$ すなわち $n \ge 12$ のとき

$-(-n + 11) \ge n^2 + n + 3$ $n - 11 \ge n^2 + n + 3$ $n^2 + 14 \le 0$ これを満たす実数 $n$ は存在しない。

以上より、求める正の整数 $n$ の候補は $n = 1, 2, 11$ である。 $n=1$ のとき、$-n+11=10$、$n^2+n+3=5$ であり、$10$ は $5$ で割り切れる。 $n=2$ のとき、$-n+11=9$、$n^2+n+3=9$ であり、$9$ は $9$ で割り切れる。 $n=11$ のとき、$-n+11=0$ であり、$0$ は任意の0でない整数の倍数である。よって、これらはすべて条件を満たす。

解法2

問1（対数を用いる方法）

$2025^x = 3^y = 5^z$ とする。

(i) $x, y, z$ のいずれかが $0$ のとき

仮に $x=0$ とすると $2025^0 = 1$ より $3^y = 1, 5^z = 1$ となり、$y=0, z=0$。このとき、$2xy + 4xz - yz = 0$ は成り立つ。$y=0$ や $z=0$ の場合も同様である。

(ii) $x, y, z$ がいずれも $0$ でないとき

底を $3$ とする対数をとると、 $x \log_3 2025 = y = z \log_3 5$ $2025 = 3^4 \cdot 5^2$ であるから、 $\log_3 2025 = \log_3 (3^4 \cdot 5^2) = 4 + 2 \log_3 5$ したがって、 $x (4 + 2 \log_3 5) = y$ $\log_3 5 = \frac{y}{z}$ これを代入して、 $x \left(4 + 2 \cdot \frac{y}{z}\right) = y$ 両辺に $z$ を掛けて整理する。 $x (4z + 2y) = yz$ $4xz + 2xy - yz = 0$

よって、$2xy + 4xz - yz = 0$ が示された。

解説

問1は、指数関数の等式から変数間の関係を導く典型問題である。定数 $k$ とおいて $k$ の指数で表す方法（解法1）か、対数をとる方法（解法2）のいずれかを用いればスムーズに解答できる。素因数分解に気づくことが鍵となる。なお、$x=y=z=0$ の場合分け（または $0$ にならないことの確認）を忘れないように注意したい。問2は、多項式の剰余を利用した整数の問題である。「$A$ が $B$ で割り切れる」とき、$A = BQ + R$ とおくと「$R$ が $B$ で割り切れる」ことと同値になる。多項式として次数を下げたのち、余りが $0$ の場合と、余りが $0$ でなく「（余りの絶対値）$\ge$（割る数の絶対値）」となる場合に着目して絞り込む手法は、難関大で頻出の処理である。