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東京大学 2023年理系第5問解説

方針・初手

(1) は整式の割り算の基本関係式 $A = BQ + R$ を立式し、両辺を7乗して二項定理で展開することで証明できる。(2) は (1) の結論を繰り返し適用することで、$h_2(x)$ を $h(x)$ の累乗の剰余として捉え直す。条件から $h(x)^{49} - h(x)$ が $f(x)$ で割り切れることに帰着させ、因数定理と「2乗で割り切れる条件」を利用して係数を決定する。

解法1

(1)

$g(x)$ を $f(x)$ で割った商を $Q(x)$ とすると、

$$ g(x) = f(x)Q(x) + r(x) $$

と表せる。両辺を7乗し、二項定理を用いて展開すると、

$$ g(x)^7 = \{f(x)Q(x) + r(x)\}^7 $$

$$ = \sum_{k=0}^{7} {}_7\mathrm{C}_{k} \{f(x)Q(x)\}^{7-k} r(x)^k $$

$$ = \{f(x)Q(x)\}^7 + \cdots + {}_7\mathrm{C}_{6} f(x)Q(x) r(x)^6 + r(x)^7 $$

右辺の展開式において、$r(x)^7$ 以外の項はすべて $f(x)$ を因数に持つ。したがって、ある整式 $P(x)$ を用いて、

$$ g(x)^7 = f(x)P(x) + r(x)^7 $$

と表すことができる。

よって、$g(x)^7$ を $f(x)$ で割った余りは、$r(x)^7$ を $f(x)$ で割った余りに等しい。（証明終）

(2)

$h_1(x)$ は $h(x)^7$ を $f(x)$ で割った余りであるから、(1) で示した性質より、$h_1(x)^7$ を $f(x)$ で割った余り $h_2(x)$ は、$\{h(x)^7\}^7 = h(x)^{49}$ を $f(x)$ で割った余りに等しい。

条件 $h_2(x) = h(x)$ より、$h(x)^{49}$ を $f(x)$ で割った余りが $h(x)$ となる。すなわち、$h(x)^{49} - h(x)$ は $f(x) = (x-1)^2(x-2)$ で割り切れる。したがって、$h(x)^{49} - h(x)$ は $x-2$ および $(x-1)^2$ の両方で割り切れる。

(i)

$x-2$ で割り切れる条件

因数定理より、

$$ h(2)^{49} - h(2) = 0 $$

$$ h(2) \{h(2)^{48} - 1\} = 0 $$

$h(x)$ は実数を係数とする整式より $h(2)$ も実数であるから、

$$ h(2) \in \{-1, 0, 1\} $$

$h(2) = 4 + 2a + b$ であるため、

$$ 2a + b + 4 \in \{-1, 0, 1\} \quad \cdots ① $$

(ii)

$(x-1)^2$ で割り切れる条件

$h(x)$ を $x-1$ について展開する。

$$ h(x) = (x-1+1)^2 + a(x-1+1) + b $$

$$ = (x-1)^2 + (a+2)(x-1) + (a+b+1) $$

ここで、$c = a+2$、$d = a+b+1$ とおくと、

$$ h(x) = (x-1)^2 + c(x-1) + d $$

と表せる。これを累乗して二項定理で展開する。

$$ h(x)^{49} = \{(x-1)^2 + c(x-1) + d\}^{49} $$

展開式において $(x-1)^2$ を因数に持たない項は、$\{c(x-1) + d\}^{49}$ を展開したときの定数項と $x-1$ の1次の項のみである。

$$ \{c(x-1) + d\}^{49} = d^{49} + 49 d^{48} c(x-1) + (\text{$(x-1)^2$ で割り切れる整式}) $$

よって、$h(x)^{49} - h(x)$ を $(x-1)^2$ で割った余りは、

$$ d^{49} + 49 d^{48} c(x-1) - \{c(x-1) + d\} $$

$$ = (49 d^{48} c - c)(x-1) + d^{49} - d $$

となる。これが恒等的に $0$ となるため、各係数が $0$ となる。

$$ d^{49} - d = 0 \quad \cdots ② $$

$$ c(49 d^{48} - 1) = 0 \quad \cdots ③ $$

②より $d(d^{48} - 1) = 0$ であり、$d$ は実数であるから $d \in \{-1, 0, 1\}$。いずれの場合も $d^{48}$ は $0$ または $1$ となり、$49 d^{48} - 1 \neq 0$ である。したがって、③を満たすためには $c = 0$ が必要である。 $c = a+2 = 0$ より、$a = -2$ と定まる。

このとき、$d = -2+b+1 = b-1 \in \{-1, 0, 1\}$ より、$b \in \{0, 1, 2\}$ である。一方、①より $h(2) = 4 - 4 + b = b \in \{-1, 0, 1\}$ であるから、両方を満たす $b$ は $b = 0, 1$ のみである。

以上より、求める組は $(a, b) = (-2, 0), (-2, 1)$。

解法2

(2) の $(x-1)^2$ で割り切れる条件を、導関数を用いて処理する解法。

(2)

(1) と同様の論理により、$h_2(x)$ は $h(x)^{49}$ を $f(x)$ で割った余りに等しい。 $h_2(x) = h(x)$ より、$h(x)^{49} - h(x)$ は $f(x) = (x-1)^2(x-2)$ で割り切れる。 $H(x) = h(x)^{49} - h(x)$ とおく。 $H(x)$ が $(x-1)^2(x-2)$ で割り切れるための必要十分条件は、$H(2) = 0$ かつ $H(1) = 0$ かつ $H'(1) = 0$ が成り立つことである。

$$ H(2) = h(2)^{49} - h(2) = h(2)\{h(2)^{48} - 1\} = 0 $$

$h(2)$ は実数より、

$$ h(2) \in \{-1, 0, 1\} \quad \cdots ④ $$

同様に、

$$ H(1) = h(1)^{49} - h(1) = h(1)\{h(1)^{48} - 1\} = 0 $$

$h(1)$ は実数より、

$$ h(1) \in \{-1, 0, 1\} \quad \cdots ⑤ $$

次に $H(x)$ を $x$ で微分する。

$$ H'(x) = 49h(x)^{48}h'(x) - h'(x) = h'(x)\{49h(x)^{48} - 1\} $$

$$ H'(1) = h'(1)\{49h(1)^{48} - 1\} = 0 $$

⑤より $h(1)^{48}$ は $0$ または $1$ であるため、$49h(1)^{48} - 1$ は $-1$ または $48$ となり、$0$ にはならない。したがって、$H'(1) = 0$ を満たすためには $h'(1) = 0$ が必要である。

$h(x) = x^2 + ax + b$ より $h'(x) = 2x + a$ であるから、

$$ h'(1) = 2 + a = 0 \iff a = -2 $$

このとき $h(x) = x^2 - 2x + b$ となる。 $h(1) = -1 + b$ であり、⑤より $-1 + b \in \{-1, 0, 1\}$ すなわち $b \in \{0, 1, 2\}$。また、$h(2) = 4 - 4 + b = b$ であり、④より $b \in \{-1, 0, 1\}$。これらを同時に満たす $b$ は $b = 0, 1$ である。

よって、求める組は $(a, b) = (-2, 0), (-2, 1)$。

解説

整式の割り算における剰余の性質を問う問題である。 (1) は、合同式の性質 $A \equiv B \pmod{M} \implies A^n \equiv B^n \pmod{M}$ を整式に応用したものである。二項定理を用いて展開することで、余りの関係を明確に示せる。 (2) は、(1) の結論から $h(x)^{49} - h(x)$ が $f(x)$ で割り切れることに気づくのが要点である。整式が $(x-\alpha)^2$ で割り切れる条件の処理としては、解法1のように $x-\alpha$ のかたまりを作って二項定理で展開する方法と、解法2のように微分して $P(\alpha)=0$ かつ $P'(\alpha)=0$ を用いる方法が基本である。