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北海道大学 2023年文系第1問解説

方針・初手

恒等式の性質と因数定理を利用して解き進める。 (1) と (2) は、与えられた恒等式に適当な具体的な値（$x=0, 1$ など）を代入して関係式を導く。また、「割り切れる」「割り切れない」という条件は、因数定理を用いて式の値の条件に翻訳する。 (3) は、次数が2と指定されているため、$P(x) = ax^2+bx+c \ (a \neq 0)$ とおき、恒等式の両辺に代入して係数比較を行う（未定係数法）。その際、(1) で得た定数項に関する結果を利用すると見通しが良くなる。

解法1

(1) 与えられた等式 $$ P(x)P(-x) = P(x^2) $$ は $x$ についての恒等式である。両辺に $x=0$ を代入すると、 $$ P(0)P(0) = P(0) $$ $$ \{P(0)\}^2 - P(0) = 0 $$ $$ P(0)\{P(0)-1\} = 0 $$ したがって、 $$ P(0) = 0 \quad \text{または} \quad P(0) = 1 $$ であることが示された。

(2) 因数定理より、「$P(x)$ が $x-1$ で割り切れない」とは $P(1) \neq 0$ であることと同値である。また、「$P(x)-1$ が $x+1$ で割り切れる」ことを示すには、$P(-1)-1 = 0$、すなわち $P(-1) = 1$ であることを示せばよい。

恒等式 $P(x)P(-x) = P(x^2)$ に $x=1$ を代入すると、 $$ P(1)P(-1) = P(1) $$ $$ P(1)\{P(-1) - 1\} = 0 $$ 仮定より $P(1) \neq 0$ であるから、両辺を $P(1)$ で割ることができ、 $$ P(-1) - 1 = 0 $$ $$ P(-1) = 1 $$ となる。したがって、因数定理により $P(x)-1$ は $x+1$ で割り切れることが示された。

(3) $P(x)$ は2次の整式であるから、定数 $a, b, c$（ただし $a \neq 0$）を用いて、 $$ P(x) = ax^2 + bx + c $$ とおける。ここで、$P(0) = c$ であり、(1) の結果より $P(0) = 0$ または $P(0) = 1$ であるから、 $$ c = 0 \quad \text{または} \quad c = 1 $$ である。

一方、恒等式の左辺と右辺をそれぞれ計算する。左辺は、 $$ \begin{aligned} P(x)P(-x) &= (ax^2 + bx + c)(ax^2 - bx + c) \\ &= \{(ax^2 + c) + bx\} \{(ax^2 + c) - bx\} \\ &= (ax^2 + c)^2 - (bx)^2 \\ &= a^2x^4 + 2acx^2 + c^2 - b^2x^2 \\ &= a^2x^4 + (2ac - b^2)x^2 + c^2 \end{aligned} $$ 右辺は、 $$ P(x^2) = a(x^2)^2 + b(x^2) + c = ax^4 + bx^2 + c $$ これらが恒等的に等しいので、各次数の係数を比較すると、 $$ a^2 = a $$ $$ 2ac - b^2 = b $$ $$ c^2 = c $$ が成り立つ。（$c^2=c$ は $c=0, 1$ と同値であるため満たされている）

$a^2 = a$ より $a(a-1) = 0$ であり、$a \neq 0$ であるから $a = 1$ と定まる。これを $2ac - b^2 = b$ に代入して整理すると、 $$ b^2 + b - 2c = 0 $$ となる。

(i) $c = 0$ のとき $$ b^2 + b = 0 $$ $$ b(b+1) = 0 $$ よって、$b = 0, -1$ である。このとき、求める整式は、 $$ P(x) = x^2 \quad \text{または} \quad P(x) = x^2 - x $$ となる。

(ii) $c = 1$ のとき $$ b^2 + b - 2 = 0 $$ $$ (b+2)(b-1) = 0 $$ よって、$b = 1, -2$ である。このとき、求める整式は、 $$ P(x) = x^2 + x + 1 \quad \text{または} \quad P(x) = x^2 - 2x + 1 $$ となる。

以上 (i), (ii) より、条件を満たす2次式 $P(x)$ がすべて求まる。

解説

多項式の恒等式に関する典型問題である。「恒等式」条件の扱い方の基本である、「具体的な数値を代入する（数値代入法）」と「次数と係数を比較する（未定係数法）」の両方を用いる。 (1) と (2) は特定の値を代入して関係式を引き出し、因数定理と結びつける基本的な操作を問うている。(3) は次数が指定されているため、係数を文字でおいて展開し、係数比較を行うストレートな処理となる。文字でおいた際の最高次の係数が $0$ でないこと（$a \neq 0$）に注意して処理を進めれば、確実に完答できる難易度である。