数学2 二項定理 問題 1 解説

方針・初手

二項係数 ${}_n\mathrm{C}_k$ を含み、さらにその前に $k(k-1)$ のような $k$ についての多項式がかかっている和を計算する問題である。このような和を求めるには、主に2つの有効なアプローチがある。

1つ目は、二項定理 $(1+x)^n = \sum_{k=0}^n {}_n\mathrm{C}_k x^k$ の両辺を $x$ について微分する方法である。問題の式に現れる係数 $k(k-1)$ は、$x^k$ を2回微分したときに現れる係数と一致することに着目する。 2つ目は、組合せの記号に関する恒等式 $k{}_n\mathrm{C}_k = n{}_{n-1}\mathrm{C}_{k-1}$ を繰り返し用いる方法である。これにより、和の中にある変数 $k$ を外に出し、計算可能な二項係数の和へと帰着させることができる。

解法1

二項定理により、次の恒等式が成り立つ。

$$(1+x)^n = \sum_{k=0}^n {}_n\mathrm{C}_k x^k = {}_n\mathrm{C}_0 + {}_n\mathrm{C}_1 x + {}_n\mathrm{C}_2 x^2 + \dots + {}_n\mathrm{C}_n x^n$$

この両辺を $x$ について微分すると、

$$n(1+x)^{n-1} = \sum_{k=1}^n k \cdot {}_n\mathrm{C}_k x^{k-1} = {}_n\mathrm{C}_1 + 2 \cdot {}_n\mathrm{C}_2 x + 3 \cdot {}_n\mathrm{C}_3 x^2 + \dots + n \cdot {}_n\mathrm{C}_n x^{n-1}$$

さらに、両辺を $x$ についてもう一度微分すると、

$$n(n-1)(1+x)^{n-2} = \sum_{k=2}^n k(k-1) \cdot {}_n\mathrm{C}_k x^{k-2}$$

すなわち、

$$n(n-1)(1+x)^{n-2} = 2 \cdot 1 \cdot {}_n\mathrm{C}_2 + 3 \cdot 2 \cdot {}_n\mathrm{C}_3 x + \dots + n(n-1) \cdot {}_n\mathrm{C}_n x^{n-2}$$

この式の両辺に $x=1$ を代入すると、

$$n(n-1)(1+1)^{n-2} = 2 \cdot 1 \cdot {}_n\mathrm{C}_2 + 3 \cdot 2 \cdot {}_n\mathrm{C}_3 + \dots + n(n-1) \cdot {}_n\mathrm{C}_n$$

右辺は問題で与えられた和の式と完全に一致する。したがって、求める和は次のように求まる。

$$n(n-1)2^{n-2}$$

解法2

組合せの記号に関する性質である以下の関係式を利用する。

$$k \cdot {}_n\mathrm{C}_k = n \cdot {}_{n-1}\mathrm{C}_{k-1} \quad (1 \leqq k \leqq n)$$

求める和の一般項 $k(k-1) \cdot {}_n\mathrm{C}_k$ （ただし $k \geqq 2$）について、上の関係式を適用すると、

$$\begin{aligned} k(k-1) \cdot {}_n\mathrm{C}_k &= (k-1) \cdot \left( k \cdot {}_n\mathrm{C}_k \right) \\ &= (k-1) \cdot n \cdot {}_{n-1}\mathrm{C}_{k-1} \\ &= n \cdot (k-1) \cdot {}_{n-1}\mathrm{C}_{k-1} \end{aligned}$$

ここで、$n$ と $k$ をそれぞれ $n-1$ と $k-1$ に置き換えた関係式 $(k-1) \cdot {}_{n-1}\mathrm{C}_{k-1} = (n-1) \cdot {}_{n-2}\mathrm{C}_{k-2}$ をさらに用いると、

$$\begin{aligned} n \cdot (k-1) \cdot {}_{n-1}\mathrm{C}_{k-1} &= n \cdot (n-1) \cdot {}_{n-2}\mathrm{C}_{k-2} \\ &= n(n-1) \cdot {}_{n-2}\mathrm{C}_{k-2} \end{aligned}$$

となる。したがって、求める和 $S$ は次のように変形できる。

$$\begin{aligned} S &= \sum_{k=2}^n k(k-1) \cdot {}_n\mathrm{C}_k \\ &= \sum_{k=2}^n n(n-1) \cdot {}_{n-2}\mathrm{C}_{k-2} \\ &= n(n-1) \sum_{k=2}^n {}_{n-2}\mathrm{C}_{k-2} \end{aligned}$$

ここで、$j = k-2$ とおくと、$k$ が $2$ から $n$ まで変化するとき、$j$ は $0$ から $n-2$ まで変化する。よって、シグマの部分は以下のように書き換えられる。

$$\sum_{k=2}^n {}_{n-2}\mathrm{C}_{k-2} = \sum_{j=0}^{n-2} {}_{n-2}\mathrm{C}_j$$

二項定理より $(1+1)^{n-2} = \sum_{j=0}^{n-2} {}_{n-2}\mathrm{C}_j$ であるから、この和は $2^{n-2}$ となる。

したがって、求める和 $S$ は次のようになる。

$$S = n(n-1)2^{n-2}$$

解説

二項係数を含む和の計算における典型問題である。一般項の係数に $k$ の多項式が含まれている場合、二項定理の展開式を $x$ で微分して $x=1$ を代入する手法（解法1）が非常に明快で強力である。係数に $k$ が1つかかっていれば1階微分、$k(k-1)$ のように2次式であれば2階微分をすることで、目的の形を作り出すことができる。

また、二項係数の恒等式 $k{}_n\mathrm{C}_k = n{}_{n-1}\mathrm{C}_{k-1}$ を用いて係数の変数 $k$ を定数 $n$ にすり替え、階乗の次数を下げていく手法（解法2）も極めて重要である。どちらの解法も大学入試の数学において頻出の処理であるため、両方の発想を使いこなせるようにしておくことが望ましい。

答え

$n(n-1)2^{n-2}$