数学2 二項定理 問題 2 解説

方針・初手

二項定理を用いて展開式の一般項を書き下し、$x$ の次数が $0$ となるような項を求める。

解法1

$\left(x^2 - \frac{1}{2x^3}\right)^5$ の展開式における一般項は、二項定理より以下のようになる。

$${}_5\mathrm{C}_r (x^2)^{5-r} \left(-\frac{1}{2x^3}\right)^r \quad (r = 0, 1, 2, 3, 4, 5)$$

この式を整理すると、

$$\begin{aligned} {}_5\mathrm{C}_r x^{10-2r} \left(-\frac{1}{2}\right)^r x^{-3r} &= {}_5\mathrm{C}_r \left(-\frac{1}{2}\right)^r x^{10-2r-3r} \\ &= {}_5\mathrm{C}_r \left(-\frac{1}{2}\right)^r x^{10-5r} \end{aligned}$$

となる。

定数項は $x$ の次数が $0$ になる項であるため、

$$10 - 5r = 0$$

これを解いて、

$$r = 2$$

これは $r$ が $0$ 以上 $5$ 以下の整数であるという条件を満たす。 したがって、求める定数項は $r = 2$ のときの係数となるので、

$$\begin{aligned} {}_5\mathrm{C}_2 \left(-\frac{1}{2}\right)^2 &= \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} \cdot \frac{1}{4} \\ &= 10 \cdot \frac{1}{4} \\ &= \frac{5}{2} \end{aligned}$$

解説

二項定理を用いた基本的な係数決定問題である。一般項を正確に立て、係数部分と文字部分（$x$ の累乗）に分けて整理することがポイントである。負の符号の扱いに注意して計算を進めるとよい。

答え

$$\frac{5}{2}$$