数学2 二項定理 問題 21 解説

方針・初手

$100.1$ を $100 + 0.1$、すなわち $10^2 + 10^{-1}$ と分解し、二項定理を用いて展開する。特定の位の数字を求める問題であるため、すべての項を計算する必要はなく、求める位に影響を与える項だけを拾い上げて計算する。

解法1

二項定理により、$(100.1)^7$ を次のように展開する。

$$(100.1)^7 = (10^2 + 10^{-1})^7 = \sum_{k=0}^{7} {}_7\mathrm{C}_k (10^2)^{7-k} (10^{-1})^k$$

この展開式の一般項は、

$${}_7\mathrm{C}_k 10^{14-2k} 10^{-k} = {}_7\mathrm{C}_k 10^{14-3k} \quad (k = 0, 1, 2, \dots, 7)$$

となる。各 $k$ の値に対する項の大きさを調べる。

$k=0, 1, 2, 3$ のとき、$14-3k \geqq 5$ であるから、これらの項はすべて $10^5$ の倍数であり、百の位以下の数字には影響を与えない。

百の位および小数第4位に関わる項は、$k=4, 5, 6, 7$ のときである。それぞれの項を具体的に計算する。

$k=4$ のとき、

$${}_7\mathrm{C}_4 10^2 = 35 \times 100 = 3500$$

$k=5$ のとき、

$${}_7\mathrm{C}_5 10^{-1} = 21 \times 0.1 = 2.1$$

$k=6$ のとき、

$${}_7\mathrm{C}_6 10^{-4} = 7 \times 0.0001 = 0.0007$$

$k=7$ のとき、

$${}_7\mathrm{C}_7 10^{-7} = 1 \times 0.0000001 = 0.0000001$$

したがって、$k=4$ から $k=7$ までの項の和は、

$$3500 + 2.1 + 0.0007 + 0.0000001 = 3502.1007001$$

$k=0, 1, 2, 3$ の項の和は下5桁が $00000$ の整数であるため、全体の和の百の位以下の数字は上記の和と一致する。

よって、百の位の数字は $5$、小数第4位の数字は $7$ である。

解説

二項定理を用いて式を展開し、各項の位取りを調べる定石問題である。$10$ の累乗の形で一般項を表すことで、どの項がどの位に影響を与えるかを容易に判別できる。真面目にすべて計算するのではなく、必要な部分だけを抽出して計算することが時間短縮および計算ミス防止の鍵となる。

答え

ウ: 5

エ: 7