数学2 等式の証明 問題 1 解説

方針・初手

「$x$ は $y$ に等しいか、あるいは $x$ は $z$ に等しい」という結論は、数式を用いると $(x-y)(x-z)=0$ と表すことができる。この式を直接導くアプローチや、与えられた条件式から1文字を消去して因数分解するアプローチ、あるいは $y+z$ と $y z$ の値から $y, z$ を解にもつ2次方程式を作成するアプローチなどが考えられる。

解法1

示すべき事柄は $(x-y)(x-z)=0$ である。この左辺を展開すると、

$$(x-y)(x-z) = x^2 - (y+z)x + yz$$

となる。与えられた条件式は以下の2つである。

$$\begin{aligned} x+y+z &= 0 \\ 2x^2+yz &= 0 \end{aligned}$$

これらより、$y+z = -x$ および $yz = -2x^2$ となる。これを展開した式に代入すると、

$$\begin{aligned} (x-y)(x-z) &= x^2 - (-x)x + (-2x^2) \\ &= x^2 + x^2 - 2x^2 \\ &= 0 \end{aligned}$$

が成り立つ。したがって、$x=y$ または $x=z$ が示された。

解法2

条件式 $x+y+z=0$ より、

$$z = -x-y$$

である。これをもう1つの条件式 $2x^2+yz=0$ に代入して $z$ を消去すると、

$$2x^2 + y(-x-y) = 0$$

$$2x^2 - xy - y^2 = 0$$

となる。この左辺を因数分解すると、

$$(2x+y)(x-y) = 0$$

となる。よって、$x=y$ または $2x+y=0$ である。

(i) $x=y$ のとき

結論そのものであり、題意は満たされる。

(ii) $2x+y=0$ のとき

$y = -2x$ である。これを $z = -x-y$ に代入すると、

$$z = -x - (-2x) = x$$

となり、$x=z$ が得られる。これも題意を満たす。

(i)、(ii) より、いずれの場合も $x=y$ または $x=z$ が成り立つことが示された。

解法3

与えられた条件式から、

$$\begin{aligned} y+z &= -x \\ yz &= -2x^2 \end{aligned}$$

が成り立つ。解と係数の関係より、$y, z$ は $t$ についての2次方程式

$$t^2 - (y+z)t + yz = 0$$

の2つの解である。上記の値を代入すると、

$$t^2 - (-x)t + (-2x^2) = 0$$

$$t^2 + xt - 2x^2 = 0$$

となる。この左辺を因数分解すると、

$$(t-x)(t+2x) = 0$$

よって、$t = x, -2x$ である。

$y, z$ はこの2次方程式の解であるから、「$y=x$ かつ $z=-2x$」または「$y=-2x$ かつ $z=x$」のいずれかが成り立つ。

前半の場合は $x=y$ であり、後半の場合は $x=z$ である。したがって、いずれの場合も $x=y$ または $x=z$ が示された。

解説

「$A$ または $B$」を示す問題において、$AB=0$ を示すという論理の言い換え（解法1）は非常に強力な定石である。目標から逆算することで、計算量を大きく減らすことができる。また、解法2の「1文字消去」は連立方程式を解く際の基本であり、こちらも自然な発想である。解法3のように、基本対称式 $y+z, yz$ の形が現れたときに2次方程式を作成する手法も、代数学における重要な考え方である。

答え

与えられた条件から $(x-y)(x-z)=0$ が導かれること（または $y, z$ が $x, -2x$ のいずれかとなること）により、$x$ は $y$ に等しいか、あるいは $x$ は $z$ に等しいことが示された。