数学2 等式の証明 問題 2 解説

方針・初手

(1) について、「$\alpha, \beta, \gamma$ の少なくとも1つは1である」ことを数式に翻訳する。これは $(\alpha - 1)(\beta - 1)(\gamma - 1) = 0$ が成り立つことと同値である。与えられた基本対称式の値を用いて左辺を展開し、計算する。

(2) について、「すべて1である」ことを示すには複数のアプローチが考えられる。実数の平方の和が $0$ 以上になる性質を利用して $(\alpha - 1)^2 + (\beta - 1)^2 + (\gamma - 1)^2 = 0$ や $(\alpha - \beta)^2 + (\beta - \gamma)^2 + (\gamma - \alpha)^2 = 0$ を導く方針や、解と係数の関係を用いて $\alpha, \beta, \gamma$ を解に持つ3次方程式を構成し、その実数解の個数からアプローチする方針が有効である。

解法1

(1)

示すべき等式は $(\alpha - 1)(\beta - 1)(\gamma - 1) = 0$ である。左辺を展開すると、

$$\begin{aligned} (\alpha - 1)(\beta - 1)(\gamma - 1) &= \alpha\beta\gamma - (\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha) + (\alpha + \beta + \gamma) - 1 \\ &= q - p + 3 - 1 \\ &= q - p + 2 \end{aligned}$$

となる。

ここで、仮定より $p = q + 2$ であるから、$q - p + 2 = 0$ が成り立つ。

よって、$(\alpha - 1)(\beta - 1)(\gamma - 1) = 0$ となり、$\alpha, \beta, \gamma$ の少なくとも1つは1であることが示された。

(2)

$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2$ の値を計算する。

$$\begin{aligned} \alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 &= (\alpha + \beta + \gamma)^2 - 2(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha) \\ &= 3^2 - 2p \\ &= 9 - 2p \end{aligned}$$

$p = 3$ のとき、$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = 9 - 6 = 3$ となる。

次に、$(\alpha - \beta)^2 + (\beta - \gamma)^2 + (\gamma - \alpha)^2$ の値を考える。展開して整理すると、

$$\begin{aligned} (\alpha - \beta)^2 + (\beta - \gamma)^2 + (\gamma - \alpha)^2 &= 2(\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2) - 2(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha) \\ &= 2 \cdot 3 - 2 \cdot 3 \\ &= 0 \end{aligned}$$

$\alpha, \beta, \gamma$ は実数であるから、各項の平方はすべて $0$ 以上である。したがって、上の等式が成り立つための条件は、

$$\alpha - \beta = 0 \quad \text{かつ} \quad \beta - \gamma = 0 \quad \text{かつ} \quad \gamma - \alpha = 0$$

すなわち、$\alpha = \beta = \gamma$ である。

さらに、$\alpha + \beta + \gamma = 3$ であるから、$3\alpha = 3$ より $\alpha = 1$ となる。

よって、$\alpha = \beta = \gamma = 1$ であり、すべて1であることが示された。

解法2

(1) は解法1と同じである。以下、(2) の別解を示す。

(2)

$\alpha, \beta, \gamma$ は、以下の $t$ についての3次方程式の3つの実数解である。

$$t^3 - (\alpha + \beta + \gamma)t^2 + (\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)t - \alpha\beta\gamma = 0$$

与えられた条件より、この方程式は次のように書ける。

$$t^3 - 3t^2 + pt - q = 0$$

$p = 3$ のとき、方程式は次のようになる。

$$t^3 - 3t^2 + 3t - q = 0$$

左辺を変形すると、

$$(t - 1)^3 + 1 - q = 0$$

$$(t - 1)^3 = q - 1$$

$t$ は実数であるから、実数 $q - 1$ の3乗根はただ1つ実数として存在する。すなわち、この方程式の実数解は $t = \sqrt[3]{q - 1} + 1$ のただ1つに限られる。

$\alpha, \beta, \gamma$ はすべてこの3次方程式の実数解であるから、これらは互いに等しくなければならない。よって、$\alpha = \beta = \gamma$ である。

$\alpha + \beta + \gamma = 3$ であるから、$3\alpha = 3$ となり $\alpha = 1$ である。

よって、$\alpha = \beta = \gamma = 1$ であり、すべて1であることが示された。

解説

(1) では「少なくとも1つ」という条件を「積が $0$ になる」という方程式に帰着させるのが定石である。 (2) では実数条件をいかに処理するかが問われている。解法1のように平方の和が $0$ である形を利用して同値変形を行うのは、等式証明において極めて重要な手法である。また、解法2のように解と係数の関係から3次方程式を復元し、その関数の性質（ここでは単調増加による実数解の個数）を調べる視点も、対称式を扱う上で応用範囲が広い。

答え

(1) $(\alpha - 1)(\beta - 1)(\gamma - 1) = 0$ を展開して条件を代入することで、題意の通り示された。

(2) $(\alpha - \beta)^2 + (\beta - \gamma)^2 + (\gamma - \alpha)^2 = 0$ に帰着させるか、3次方程式の実数解の条件を考えることで、題意の通り示された。