数学2 等式の証明 問題 3 解説

方針・初手

与えられた条件式 (A) の分母を払い、式を整理して $a, b, c$ に関する因数分解された等式を導く。その後、得られた条件を用いて (B) の両辺を比較し、等式が成立することを示す。

解法1

条件式 (A) は

$$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{a+b+c}$$

である。左辺を通分すると

$$\frac{bc+ca+ab}{abc} = \frac{1}{a+b+c}$$

となる。$abc \neq 0, a+b+c \neq 0$ であるから、両辺に $abc(a+b+c)$ を掛けて分母を払うと

$$(a+b+c)(ab+bc+ca) = abc$$

が得られる。これを整理して因数分解する。

$$\begin{aligned} (a+b+c)(ab+bc+ca) - abc &= 0 \\ a^2b + a^2c + ab^2 + b^2c + bc^2 + ac^2 + 2abc &= 0 \\ (b+c)a^2 + (b^2+2bc+c^2)a + bc(b+c) &= 0 \\ (b+c)a^2 + (b+c)^2a + bc(b+c) &= 0 \\ (b+c) \{ a^2 + (b+c)a + bc \} &= 0 \\ (b+c)(a+b)(a+c) &= 0 \end{aligned}$$

したがって、$a+b=0$ または $b+c=0$ または $c+a=0$ が成り立つ。

対称性から、$a+b=0$ の場合について示せば十分である。 $b = -a$ を (B) の左辺に代入すると、

$$\frac{1}{a^n} + \frac{1}{b^n} + \frac{1}{c^n} = \frac{1}{a^n} + \frac{1}{(-a)^n} + \frac{1}{c^n}$$

となる。ここで $n$ は奇数であるから $(-a)^n = -a^n$ が成り立ち、

$$\frac{1}{a^n} - \frac{1}{a^n} + \frac{1}{c^n} = \frac{1}{c^n}$$

となる。一方、(B) の右辺に $b = -a$ を代入すると、

$$\frac{1}{(a+b+c)^n} = \frac{1}{(a-a+c)^n} = \frac{1}{c^n}$$

となる。よって、左辺と右辺が等しくなり、$a+b=0$ のときに (B) が成立することが示された。

$b+c=0$ および $c+a=0$ の場合も同様に成立する。 以上より、任意の奇数 $n$ に対し、条件 (B) が成立することが示された。

解説

複数の変数の分数方程式から対称式を導き、因数分解によって条件を絞り込む典型的な問題である。$(a+b+c)(ab+bc+ca) - abc = (a+b)(b+c)(c+a)$ は非常によく登場する因数分解の変形であり、この形を知っていると見通しが立てやすい。奇数乗の性質である $(-x)^n = -x^n$ を利用して項を相殺させることが証明の鍵である。

答え

(A) を変形して得られる $(a+b)(b+c)(c+a)=0$ より、$a+b=0, b+c=0, c+a=0$ のいずれかが成り立つことを示す。

対称性より $b=-a$ の場合を考えると、$n$ が奇数であることから $(-a)^n = -a^n$ となり、(B) の両辺が $\frac{1}{c^n}$ に一致して等式が成立することを示す。