数学2 式の値 問題 1 解説

方針・初手

まず $a$ の分母を有理化して扱いやすい形にする。

有理化した $a$ の値を用いて $a+\frac{1}{a}$ の値を求め、それを基本対称式のように扱う。

高次式の $a^2+\frac{1}{a^2}$ や $a^5+\frac{1}{a^5}$ は、直接代入して計算するのではなく、$a+\frac{1}{a}$ を用いた式に変形して値を求める。

解法1

$a$ の分母を有理化する。

$$a = \frac{2}{3-\sqrt{5}} = \frac{2(3+\sqrt{5})}{(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})} = \frac{2(3+\sqrt{5})}{9-5} = \frac{3+\sqrt{5}}{2}$$

これより、$\frac{1}{a}$ の値は以下のようになる。

$$\frac{1}{a} = \frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

したがって、$a+\frac{1}{a}$ の値は次のように計算できる。

$$a+\frac{1}{a} = \frac{3+\sqrt{5}}{2} + \frac{3-\sqrt{5}}{2} = 3$$

次に、$a^2+\frac{1}{a^2}$ を $a+\frac{1}{a}$ を用いて表して計算する。

$$a^2+\frac{1}{a^2} = \left(a+\frac{1}{a}\right)^2 - 2 \cdot a \cdot \frac{1}{a} = \left(a+\frac{1}{a}\right)^2 - 2$$

先ほど求めた値を代入する。

$$a^2+\frac{1}{a^2} = 3^2 - 2 = 7$$

最後に $a^5+\frac{1}{a^5}$ の値を求める。これには $a^3+\frac{1}{a^3}$ の値が必要となるため、先に計算する。

$$a^3+\frac{1}{a^3} = \left(a+\frac{1}{a}\right)^3 - 3 \cdot a \cdot \frac{1}{a}\left(a+\frac{1}{a}\right) = \left(a+\frac{1}{a}\right)^3 - 3\left(a+\frac{1}{a}\right)$$

値を代入して計算する。

$$a^3+\frac{1}{a^3} = 3^3 - 3 \cdot 3 = 27 - 9 = 18$$

$a^5+\frac{1}{a^5}$ は、$a^2+\frac{1}{a^2}$ と $a^3+\frac{1}{a^3}$ の積を展開することで形を作ることができる。

$$\left(a^2+\frac{1}{a^2}\right)\left(a^3+\frac{1}{a^3}\right) = a^5 + \frac{1}{a} + a + \frac{1}{a^5} = a^5+\frac{1}{a^5} + \left(a+\frac{1}{a}\right)$$

式を整理して値を代入する。

$$a^5+\frac{1}{a^5} = \left(a^2+\frac{1}{a^2}\right)\left(a^3+\frac{1}{a^3}\right) - \left(a+\frac{1}{a}\right)$$

$$a^5+\frac{1}{a^5} = 7 \cdot 18 - 3 = 126 - 3 = 123$$

解説

式を文字 $a$ と $\frac{1}{a}$ の対称式と見なして計算する典型的な問題である。

高次式であっても、基本となる $a+\frac{1}{a}$ を求めてしまえば、式の変形を利用して次数の低いものから順次求めていくことができる。

$x^5+y^5$ の対称式の変形公式 $(x^2+y^2)(x^3+y^3) - x^2y^2(x+y)$ は頻出であるため、すぐに引き出せるようにしておくか、その場で積を作って不要な項を引くという考え方を身につけておくとよい。

答え

$a+\frac{1}{a} = 3$

$a^2+\frac{1}{a^2} = 7$

$a^5+\frac{1}{a^5} = 123$