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数学2 式の値問題 27 解説

方針・初手

$\sqrt[3]{3} = x$ とおくことで、$x^3 = 3$ であることを利用する。分母は $2x^2 + x + 5$ という $x$ の2次式で表される。この2次式に適当な2次式 $ax^2 + bx + c$ を掛けて有理数（定数）になるように係数 $a, b, c$ を定めるか、あるいは多項式 $2x^2 + x + 5$ と $x^3 - 3$ に対してユークリッドの互除法を適用して有理化の因数を見つける。

解法1

$x = \sqrt[3]{3}$ とおく。このとき、$x^3 = 3$ である。与式の分母は $2x^2 + x + 5$ と表される。有理数 $a, b, c$ を用いて、これに $ax^2 + bx + c$ を掛けた展開式を考える。

$$\begin{aligned} (2x^2 + x + 5)(ax^2 + bx + c) &= 2ax^4 + (a + 2b)x^3 + (5a + b + 2c)x^2 + (5b + c)x + 5c \end{aligned}$$

$x^3 = 3$、$x^4 = 3x$ を代入して整理する。

$$\begin{aligned} & 2a(3x) + 3(a + 2b) + (5a + b + 2c)x^2 + (5b + c)x + 5c \\ &= (5a + b + 2c)x^2 + (6a + 5b + c)x + 3a + 6b + 5c \end{aligned}$$

これが $x$ によらない有理数となるためには、次の条件を満たせばよい。

$$\begin{cases} 5a + b + 2c = 0 \\ 6a + 5b + c = 0 \end{cases}$$

第2式より $c = -6a - 5b$ である。これを第1式に代入する。

$$\begin{aligned} 5a + b + 2(-6a - 5b) &= 0 \\ -7a - 9b &= 0 \end{aligned}$$

この等式を満たす整数の組の1つとして、$a = 9, b = -7$ がある。このとき、$c = -6 \cdot 9 - 5 \cdot (-7) = -54 + 35 = -19$ となる。これらの値を定数項の式に代入する。

$$\begin{aligned} 3a + 6b + 5c &= 3 \cdot 9 + 6 \cdot (-7) + 5 \cdot (-19) \\ &= 27 - 42 - 95 \\ &= -110 \end{aligned}$$

したがって、次の関係式が成り立つ。

$$(2x^2 + x + 5)(9x^2 - 7x - 19) = -110$$

両辺に $-1$ を掛ける。

$$(2x^2 + x + 5)(-9x^2 + 7x + 19) = 110$$

与式の分母と分子に $-9x^2 + 7x + 19$ を掛けて有理化を行う。

$$\begin{aligned} \frac{55}{2x^2 + x + 5} &= \frac{55(-9x^2 + 7x + 19)}{(2x^2 + x + 5)(-9x^2 + 7x + 19)} \\ &= \frac{55(-9x^2 + 7x + 19)}{110} \\ &= \frac{-9x^2 + 7x + 19}{2} \end{aligned}$$

$x = \sqrt[3]{3}$、$x^2 = \sqrt[3]{9}$ を代入して元に戻す。

$$\frac{-9\sqrt[3]{9} + 7\sqrt[3]{3} + 19}{2}$$

解法2

$x = \sqrt[3]{3}$ とおくと、$x^3 - 3 = 0$ である。多項式 $P(x) = 2x^2 + x + 5$ と $x^3 - 3$ に対してユークリッドの互除法を用いる。 $x^3 - 3$ を $P(x)$ で割ると、次の恒等式が得られる。

$$x^3 - 3 = (2x^2 + x + 5)\left(\frac{1}{2}x - \frac{1}{4}\right) - \frac{9}{4}x - \frac{7}{4}$$

分母を払うために両辺を $4$ 倍して整理する。

$$\begin{aligned} 4(x^3 - 3) &= (2x^2 + x + 5)(2x - 1) - (9x + 7) \\ 9x + 7 &= (2x^2 + x + 5)(2x - 1) - 4(x^3 - 3) \end{aligned}$$

次に、$2x^2 + x + 5$ を $9x + 7$ で割ることを考える。分数係数を避けるために $81$ 倍してから割る。

$$81(2x^2 + x + 5) = 162x^2 + 81x + 405$$

これを $9x + 7$ で割ると、商が $18x - 5$ で余りが $440$ となる。

$$81(2x^2 + x + 5) = (9x + 7)(18x - 5) + 440$$

これを $440 = \cdots$ の形に変形し、先ほど得た $9x + 7$ の式を代入する。

$$\begin{aligned} 440 &= 81(2x^2 + x + 5) - (9x + 7)(18x - 5) \\ &= 81(2x^2 + x + 5) - \{(2x^2 + x + 5)(2x - 1) - 4(x^3 - 3)\}(18x - 5) \\ &= (2x^2 + x + 5)\{81 - (2x - 1)(18x - 5)\} + 4(x^3 - 3)(18x - 5) \end{aligned}$$

中カッコの中を計算する。

$$\begin{aligned} 81 - (36x^2 - 28x + 5) = -36x^2 + 28x + 76 \end{aligned}$$

したがって、式は次のようになる。

$$440 = (2x^2 + x + 5)(-36x^2 + 28x + 76) + 4(x^3 - 3)(18x - 5)$$

両辺を $4$ で割る。

$$110 = (2x^2 + x + 5)(-9x^2 + 7x + 19) + (x^3 - 3)(18x - 5)$$

ここで $x = \sqrt[3]{3}$ を代入すると、$x^3 - 3 = 0$ であるから第2項は消去され、次の式が得られる。

$$110 = (2\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{3} + 5)(-9\sqrt[3]{9} + 7\sqrt[3]{3} + 19)$$

与式の分母・分子に $-9\sqrt[3]{9} + 7\sqrt[3]{3} + 19$ を掛けることで分母を有理化できる。

$$\begin{aligned} \frac{55}{2\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{3} + 5} &= \frac{55(-9\sqrt[3]{9} + 7\sqrt[3]{3} + 19)}{110} \\ &= \frac{-9\sqrt[3]{9} + 7\sqrt[3]{3} + 19}{2} \end{aligned}$$

解説

$3$ 乗根を含む分母の有理化は、$x = \sqrt[3]{A}$ とおいて $x^3 - A = 0$ という多項式の関係に帰着させるのが定石である。解法1の未定係数法は、掛けるべき式を $ax^2+bx+c$ とおき、展開して係数比較するだけで済むため発想として自然であり、連立方程式を解くことで確実に答えにたどり着くことができる。解法2のユークリッドの互除法は、多項式の最大公約数を求めるアルゴリズムを応用したものであり、代数的な背景に基づいた強力な手法である。除法の過程で分数が出てくると計算ミスを誘発しやすいため、適宜定数倍を行って整数係数の範囲で計算を進める工夫が有効である。