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数学2 式の値問題 26 解説

方針・初手

まずは与えられた式 $\frac{19}{8-\sqrt{7}}$ の分母を有理化し、値の大きさを評価して整数部分 $a$ を求める。小数部分 $b$ は「元の数 $-$ 整数部分」として計算する。(2) は $ab$ の値を先に計算してから $5$ 乗すると計算の手間が省ける。

解法1

与えられた式を有理化する。

$$\frac{19}{8-\sqrt{7}} = \frac{19(8+\sqrt{7})}{(8-\sqrt{7})(8+\sqrt{7})} = \frac{19(8+\sqrt{7})}{64-7} = \frac{19(8+\sqrt{7})}{57} = \frac{8+\sqrt{7}}{3}$$

ここで、$2 < \sqrt{7} < 3$ であるから、各辺に $8$ を加えて $3$ で割ると以下のようになる。

$$\frac{10}{3} < \frac{8+\sqrt{7}}{3} < \frac{11}{3}$$

$\frac{10}{3} = 3.33\cdots$ であり、$\frac{11}{3} = 3.66\cdots$ であるため、この数の整数部分 $a$ は $3$ である。

小数部分 $b$ は元の数から整数部分を引いたものなので、次のように求まる。

$$b = \frac{8+\sqrt{7}}{3} - 3 = \frac{-1+\sqrt{7}}{3}$$

次に、$\frac{a^5b^5}{4}$ の値を計算する。先に $ab$ の値を求めておく。

$$ab = 3 \times \frac{-1+\sqrt{7}}{3} = \sqrt{7}-1$$

これを $5$ 乗するために、二項定理を用いて $(\sqrt{7}-1)^5$ を展開する。

$$\begin{aligned} a^5b^5 &= (\sqrt{7}-1)^5 \\ &= (\sqrt{7})^5 - 5(\sqrt{7})^4 + 10(\sqrt{7})^3 - 10(\sqrt{7})^2 + 5\sqrt{7} - 1 \\ &= 49\sqrt{7} - 5 \times 49 + 10 \times 7\sqrt{7} - 10 \times 7 + 5\sqrt{7} - 1 \\ &= 49\sqrt{7} - 245 + 70\sqrt{7} - 70 + 5\sqrt{7} - 1 \\ &= -316 + 124\sqrt{7} \end{aligned}$$

したがって、求める式の値は以下のようになる。

$$\frac{a^5b^5}{4} = \frac{-316+124\sqrt{7}}{4} = -79+31\sqrt{7}$$

解説

無理数の整数部分と小数部分を求める典型的な問題である。まずは分母を有理化し、平方根のおおよその値を用いて数の範囲を絞り込む。小数部分は「元の数から整数部分を引く」ことで表現する。式の値を求める際、直接代入すると計算が煩雑になるため、$ab$ をひとかたまりとして計算してから累乗を計算する工夫が有効である。