数学2 分数式 問題 1 解説

方針・初手

それぞれの括弧内の計算を先に行い、式を整理してから掛け合わせる。分数の割り算は逆数の掛け算に直し、分子・分母を因数分解して約分できる形をつくることがポイントである。

解法1

与えられた式の左側の括弧内を通分して整理する。

$$\begin{aligned} x+1 - \frac{1}{x-2} &= \frac{(x+1)(x-2) - 1}{x-2} \\ &= \frac{x^2 - x - 2 - 1}{x-2} \\ &= \frac{x^2 - x - 3}{x-2} \end{aligned}$$

次に、右側の括弧内を計算する。分母の $x^2 - 3x + 2$ を因数分解すると $(x-1)(x-2)$ となることを利用し、割り算を掛け算に直して約分する。

$$\begin{aligned} \frac{2}{x-1} \div \frac{4}{x^2 - 3x + 2} &= \frac{2}{x-1} \times \frac{x^2 - 3x + 2}{4} \\ &= \frac{2}{x-1} \times \frac{(x-1)(x-2)}{4} \\ &= \frac{2(x-1)(x-2)}{4(x-1)} \\ &= \frac{x-2}{2} \end{aligned}$$

求めた2つの式を掛け合わせる。

$$\begin{aligned} \left( x+1 - \frac{1}{x-2} \right) \left( \frac{2}{x-1} \div \frac{4}{x^2 - 3x + 2} \right) &= \frac{x^2 - x - 3}{x-2} \times \frac{x-2}{2} \\ &= \frac{x^2 - x - 3}{2} \end{aligned}$$

解説

有理式の四則演算の基本的な問題である。いきなり全体を展開すると計算が非常に煩雑になるため、それぞれの括弧内を独立して整理する方針が有効である。多項式の因数分解を適切に行い、分母・分子の共通因数を見つけて約分することで、計算ミスを防ぐことができる。

答え

$$\frac{x^2 - x - 3}{2}$$