数学2 分数式 問題 2 解説

方針・初手

繁分数式（分数の中にさらに分数が含まれる式）の計算問題である。分母の最も深い部分から順に計算して整理していく方法か、分母と分子に同じ式を掛けて分数を順次解消していく方法のいずれかを選択する。途中で現れる式を因数分解し、約分できる箇所を見逃さないことがポイントである。

解法1

最も深い部分の分数から順に整理していく。

まず、一番下の分母を計算する。

$$x + \frac{4}{x+5} = \frac{x(x+5)+4}{x+5} = \frac{x^2+5x+4}{x+5} = \frac{(x+1)(x+4)}{x+5}$$

次に、その一つ上の分数を計算する。

$$\frac{x+1}{x + \frac{4}{x+5}} = \frac{x+1}{\frac{(x+1)(x+4)}{x+5}} = \frac{(x+1)(x+5)}{(x+1)(x+4)} = \frac{x+5}{x+4}$$

続いて、全体の分母を計算する。

$$-1 + \frac{x+1}{x + \frac{4}{x+5}} = -1 + \frac{x+5}{x+4} = \frac{-(x+4) + (x+5)}{x+4} = \frac{1}{x+4}$$

最後に、全体の式を計算する。

$$\frac{x+4}{-1 + \frac{x+1}{x + \frac{4}{x+5}}} = \frac{x+4}{\frac{1}{x+4}} = (x+4)^2$$

これを展開すると、$x^2+8x+16$ となる。

解法2

分数の基本性質を用いて、分母と分子に同じ式を掛けることで繁分数を解消していく。

与式の分母に含まれる分数 $\frac{x+1}{x + \frac{4}{x+5}}$ に着目し、この分母と分子に $x+5$ を掛ける。

$$\frac{(x+1)(x+5)}{\left(x + \frac{4}{x+5}\right)(x+5)} = \frac{(x+1)(x+5)}{x(x+5) + 4} = \frac{(x+1)(x+5)}{x^2+5x+4}$$

分母を因数分解して約分する。

$$\frac{(x+1)(x+5)}{(x+1)(x+4)} = \frac{x+5}{x+4}$$

これを与式に代入すると、以下のようになる。

$$\frac{x+4}{-1 + \frac{x+5}{x+4}}$$

次に、この全体の分母と分子に $x+4$ を掛ける。

$$\frac{(x+4)(x+4)}{\left(-1 + \frac{x+5}{x+4}\right)(x+4)} = \frac{(x+4)^2}{-(x+4) + (x+5)} = \frac{(x+4)^2}{1} = (x+4)^2$$

これを展開して、$x^2+8x+16$ を得る。

解説

繁分数式の典型的な計算問題である。解法1のように部分的に通分して整理していく方法と、解法2のように分母と分子に同じ式を掛けて分数を一気に解消していく方法がある。計算ミスのリスクを減らすためには、解法2のように「分母を払う」操作を優先する方が見通しが良くなることが多い。

いずれの方法を用いる場合でも、計算途中で得られる二次式 $x^2+5x+4$ を因数分解し、約分を行うことで計算が大幅に簡略化されることに気づくことが重要である。なお、式が意味を持つための条件として $x \neq -5, -4, -1$ が暗黙に課されているが、単なる式の計算問題であるため、条件の明記は必須ではない。

答え

$(x+4)^2$ または $x^2+8x+16$