数学2 分数式 問題 5 解説

方針・初手

与えられた式は複雑な繁分数であるため、分子と分母をそれぞれの部分ごとに分けて計算し、徐々に簡単な形に整理していく。特に分母に含まれる分数は、最も内側の部分から順に通分して計算を進める。

解法1

与えられた式の分子と分母をそれぞれ計算する。

分子について通分して整理すると、次のようになる。

$$\frac{4}{x+2} + 1 = \frac{4 + (x+2)}{x+2} = \frac{x+6}{x+2}$$

次に、分母について考える。分母に含まれる分数のさらに分母の部分を計算すると、次のようになる。

$$x + \frac{4}{x+4} = \frac{x(x+4) + 4}{x+4} = \frac{x^2+4x+4}{x+4} = \frac{(x+2)^2}{x+4}$$

これを用いると、分母の分数部分は次のように変形できる。ここで、$x^3+8 = (x+2)(x^2-2x+4)$ と因数分解できることを利用する。

$$\frac{x^3+8}{x + \frac{4}{x+4}} = \frac{x^3+8}{\frac{(x+2)^2}{x+4}} = \frac{(x+2)(x^2-2x+4) \cdot (x+4)}{(x+2)^2} = \frac{(x^2-2x+4)(x+4)}{x+2}$$

分子を展開すると、

$$(x^2-2x+4)(x+4) = x^3 + 4x^2 - 2x^2 - 8x + 4x + 16 = x^3 + 2x^2 - 4x + 16$$

となる。したがって、分母全体を通分して整理すると、次のようになる。

$$\begin{aligned} x^2 - 10 - \frac{x^3+2x^2-4x+16}{x+2} &= \frac{(x^2-10)(x+2) - (x^3+2x^2-4x+16)}{x+2} \\ &= \frac{(x^3+2x^2-10x-20) - (x^3+2x^2-4x+16)}{x+2} \\ &= \frac{-6x-36}{x+2} \\ &= \frac{-6(x+6)}{x+2} \end{aligned}$$

以上より、分子と分母のそれぞれの計算結果を与えられた式に代入すると、次のように計算できる。

$$\frac{\frac{4}{x+2} + 1}{x^2 - 10 - \frac{x^3+8}{x + \frac{4}{x+4}}} = \frac{\frac{x+6}{x+2}}{\frac{-6(x+6)}{x+2}} = \frac{x+6}{x+2} \cdot \frac{x+2}{-6(x+6)} = -\frac{1}{6}$$

解説

複雑な繁分数の計算問題である。式全体を一度に扱おうとすると計算ミスを誘発しやすいため、分子・分母のまとまりごとに部分的に計算を進めるのがよい。また、途中で $x^3+8$ の因数分解に気づくことで、約分を利用して計算を簡略化できる。

答え

$-\frac{1}{6}$