数学2 分数式 問題 4 解説

方針・初手

各分数の分子と分母を因数分解し、四則演算の原則に従い乗法部分から先に計算して約分を行う。その後、通分して減法の計算を行う。

解法1

与式の後半の乗法部分について、各分子と分母を因数分解して計算する。

$$\frac{x^2 - 5x + 6}{2x^2 - 3x - 2} \times \frac{2x^2 + 3x + 1}{x^2 - 4x + 3}$$

$$= \frac{(x-2)(x-3)}{(2x+1)(x-2)} \times \frac{(2x+1)(x+1)}{(x-1)(x-3)}$$

共通因数である $x-2$、$x-3$、$2x+1$ を約分すると、乗法部分は次のように簡略化される。

$$\frac{x+1}{x-1}$$

これを元の式に代入し、通分して全体の減法を計算する。

$$\frac{x-1}{x+1} - \frac{x+1}{x-1}$$

$$= \frac{(x-1)^2 - (x+1)^2}{(x+1)(x-1)}$$

$$= \frac{(x^2 - 2x + 1) - (x^2 + 2x + 1)}{(x+1)(x-1)}$$

$$= \frac{-4x}{(x+1)(x-1)}$$

解説

分数式の四則演算の基本問題である。計算の順序に従い、まずは乗法・除法の部分から処理する。各多項式を因数分解して約分を行うことで、式を大幅に簡略化できる。その後の減法では、通分を行って分子を計算する。分子の計算において、展開公式である $(a-b)^2 - (a+b)^2 = -4ab$ を利用すると、展開の手間を省き計算ミスを防ぐことができる。

答え

$-\frac{4x}{(x+1)(x-1)}$