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数学2 恒等式問題 22 解説

方針・初手

$f(x)$ は2次式であり、$f(0)=1$ であることから、$f(x)=ax^2+bx+1$ （$a \neq 0$）と置くことができる。$f(x^2)$ が $f(x)$ で割り切れるという条件は、多項式としての恒等式に帰着させるか、方程式 $f(x)=0$ の解に注目するかの2つのアプローチが考えられる。ここでは両方の解法を示す。

解法1

$f(x)$ は2次式であり、$f(0)=1$ であるから、$a \neq 0$ として次のように表せる。

$$f(x) = ax^2+bx+1$$

このとき、$f(x^2)$ は4次式となり、次のように計算できる。

$$f(x^2) = ax^4+bx^2+1$$

$f(x^2)$ が2次式 $f(x)$ で割り切れるとき、その商は2次式となる。$f(x^2)$ の最高次の項は $ax^4$、$f(x)$ の最高次の項は $ax^2$ であるため、商の $x^2$ の係数は $1$ である。また、定数項はともに $1$ であるため、商の定数項も $1$ となる。したがって、商を $x^2+px+1$ と置くことができる。条件より、以下の等式が恒等式となる。

$$ax^4+bx^2+1 = (ax^2+bx+1)(x^2+px+1)$$

右辺を展開して整理する。

$$\begin{aligned} (ax^2+bx+1)(x^2+px+1) &= ax^4+apx^3+ax^2+bx^3+bpx^2+bx+x^2+px+1 \\ &= ax^4+(ap+b)x^3+(a+bp+1)x^2+(b+p)x+1 \end{aligned}$$

これが $ax^4+bx^2+1$ と恒等的に等しいので、各次数の係数を比較して以下の連立方程式を得る。

$$\begin{cases} ap+b = 0 & \cdots \text{①} \\ a+bp+1 = b & \cdots \text{②} \\ b+p = 0 & \cdots \text{③} \end{cases}$$

③より $p = -b$ である。これを①に代入する。

$$-ab+b = 0$$

$$b(1-a) = 0$$

したがって、$b=0$ または $a=1$ となる。それぞれの場合について調べる。

(i) $b=0$ のとき

$p=0$ となる。②に $b=0, p=0$ を代入する。

$$a+1 = 0$$

$$a = -1$$

これは $a \neq 0$ を満たす。このとき、求める2次式は $f(x) = -x^2+1$ である。

(ii) $a=1$ のとき

②に $a=1, p=-b$ を代入する。

$$1-b^2+1 = b$$

$$b^2+b-2 = 0$$

$$(b+2)(b-1) = 0$$

よって、$b=1, -2$ となる。 $b=1$ のとき、$a=1$（$a \neq 0$ を満たす）であり、求める2次式は $f(x) = x^2+x+1$ である。 $b=-2$ のとき、$a=1$（$a \neq 0$ を満たす）であり、求める2次式は $f(x) = x^2-2x+1$ である。

以上より、条件を満たす2次式 $f(x)$ がすべて求まる。

解法2

$f(x)=0$ の2つの複素数解を $\alpha, \beta$（重解の場合は $\alpha=\beta$）とする。 $f(x)$ は2次式なので、$a \neq 0$ として次のように因数分解できる。

$$f(x) = a(x-\alpha)(x-\beta)$$

$f(0)=1$ であるから、以下の関係が成り立つ。

$$a\alpha\beta = 1$$

これより、$a \neq 0$ かつ $\alpha \neq 0$ かつ $\beta \neq 0$ である。また、$f(x^2)$ は次のように表される。

$$f(x^2) = a(x^2-\alpha)(x^2-\beta)$$

$f(x^2)$ が $f(x)$ で割り切れるということは、因数定理により $f(\alpha)=0$ ならば $f(\alpha^2)=0$ となる。同様に $f(\beta^2)=0$ も成り立つ。 $f(x)=0$ の解は $\alpha, \beta$ のみであるから、$\alpha^2$ と $\beta^2$ はそれぞれ $\alpha, \beta$ のいずれかに等しい。すなわち、以下の4つの場合が考えられる。

(i) $\alpha^2=\alpha$ かつ $\beta^2=\beta$ のとき

$\alpha, \beta \in \{0, 1\}$ であるが、$\alpha \neq 0, \beta \neq 0$ より $\alpha=1, \beta=1$ となる。 $a\alpha\beta=1$ より $a=1$ である。よって、$f(x) = 1 \cdot (x-1)(x-1) = x^2-2x+1$ である。

(ii) $\alpha^2=\beta$ かつ $\beta^2=\alpha$ のとき

上の式を下の式に代入して $\alpha^4 = \alpha$ となる。$\alpha \neq 0$ より $\alpha^3 = 1$ である。 $\alpha=1$ のときは $\beta=1$ となり (i) に帰着する。 $\alpha \neq 1$ のとき、$\alpha$ は $x^2+x+1=0$ の解であり、$\beta=\alpha^2$ も共役な虚数解となる。このとき $\alpha\beta = \alpha^3 = 1$ であるから、$a\alpha\beta=1$ より $a=1$ となる。よって、$f(x) = 1 \cdot (x-\alpha)(x-\beta) = x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta = x^2-(-1)x+1 = x^2+x+1$ である。

(iii) $\alpha^2=\alpha$ かつ $\beta^2=\alpha$ のとき

$\alpha=1$ となる。$\beta^2=1$ より $\beta=1, -1$ である。 $\beta=1$ のときは (i) に帰着する。 $\beta=-1$ のとき、$a\alpha\beta=1$ より $-a = 1$ すなわち $a=-1$ となる。よって、$f(x) = -1 \cdot (x-1)(x+1) = -x^2+1$ である。

(iv) $\alpha^2=\beta$ かつ $\beta^2=\beta$ のとき

$\alpha$ と $\beta$ の役割を入れ替えると (iii) と同じ状況になり、新たな解は生じない。

以上より、すべての $f(x)$ が求まる。