数学2 不等式の証明 問題 1 解説

方針・初手

示すべき不等式の（右辺）$-$（左辺）$> 0$ を証明する。

式全体を特定の1文字について整理し、因数分解を行うのが基本方針である。または、与えられた条件 $x<1, y<1, z<1$ から直ちに言える正の数の積を考え、それを展開して目標の式を導く方法も有効である。

解法1

不等式の（右辺）$-$（左辺）を計算し、式を整理する。

$$\begin{aligned} & (xy+yz+zx+1) - (xyz+x+y+z) \\ &= 1 - x - y - z + xy + yz + zx - xyz \end{aligned}$$

この式を $x$ について整理し、因数分解を行う。

$$\begin{aligned} & 1 - x - y - z + xy + yz + zx - xyz \\ &= -x + xy + zx - xyz + 1 - y - z + yz \\ &= -x(1 - y - z + yz) + (1 - y - z + yz) \\ &= (1-x)(1 - y - z + yz) \\ &= (1-x)(1-y)(1-z) \end{aligned}$$

ここで、問題の条件より $x<1, y<1, z<1$ であるから、

$$1-x > 0, \quad 1-y > 0, \quad 1-z > 0$$

が成り立つ。

したがって、正の数どうしの積は正となるため、

$$(1-x)(1-y)(1-z) > 0$$

である。

ゆえに、（右辺）$-$（左辺）$> 0$ が示されたので、

$$xyz+x+y+z < xy+yz+zx+1$$

が成り立つ。

解法2

問題の条件 $x<1, y<1, z<1$ より、

$$1-x > 0, \quad 1-y > 0, \quad 1-z > 0$$

である。

これらの辺々を掛け合わせると、

$$(1-x)(1-y)(1-z) > 0$$

が成り立つ。

この不等式の左辺を展開する。

$$\begin{aligned} (1-x)(1-y)(1-z) &= (1 - x - y + xy)(1-z) \\ &= 1 - z - x + zx - y + yz + xy - xyz \\ &= 1 - x - y - z + xy + yz + zx - xyz \end{aligned}$$

したがって、不等式は次のように書ける。

$$1 - x - y - z + xy + yz + zx - xyz > 0$$

負の項を右辺へ移項して整理すると、

$$1 + xy + yz + zx > xyz + x + y + z$$

すなわち、

$$xyz+x+y+z < xy+yz+zx+1$$

が成り立つ。

解説

複数の文字が含まれる不等式の証明において、片方の辺からもう片方の辺を引き、因数分解をして符号を判定するという極めて典型的な問題である。

解法1のように1つの文字（ここでは $x$ ）について降べきの順に整理すると、因数分解の見通しが立ちやすい。また、本問の式は $x, y, z$ についての対称式に近い形をしており、定数項が $1$ であることや符号の並びから、$(1-x)(1-y)(1-z)$ の展開式そのものであることに気づければ、解法2のように最初から展開して示すこともできる。

答え

与えられた不等式が成り立つことが示された。