東北大学 2009年 理系 第1問 解説

方針・初手

(1) は条件 $a+b=c$ をそのまま用いて $(a+b)^3$ を展開すればよい。

(2) は

$$ a^3+b^3+3abc-c^3 $$

を因数分解し，仮定 $a+b-c\geqq 0$ と，残る因子が常に $0$ 以上であることを示せばよい。

解法1

(1)

$a+b=c$ であるから，

$$ c^3=(a+b)^3 $$

である。これを展開すると，

$$ c^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 $$

となる。ここで

$$ 3a^2b+3ab^2=3ab(a+b)=3abc $$

であるから，

$$ c^3=a^3+b^3+3abc $$

となる。したがって，

$$ a^3+b^3+3abc=c^3 $$

が成り立つ。

(2)

まず左辺から右辺を引くと，

$$ a^3+b^3+3abc-c^3 $$

となる。これを因数分解すると，

$$ a^3+b^3+3abc-c^3 =(a+b-c)(a^2+b^2+c^2-ab+ac+bc) $$

である。

さらに第2因子は，

$$ a^2+b^2+c^2-ab+ac+bc =\frac12{(a-b)^2+(a+c)^2+(b+c)^2} $$

と変形できる。よって，

$$ a^2+b^2+c^2-ab+ac+bc\geqq 0 $$

である。

また仮定より，

$$ a+b-c\geqq 0 $$

である。したがって 2 つの因子はいずれも $0$ 以上なので，

$$ a^3+b^3+3abc-c^3\geqq 0 $$

となる。よって，

$$ a^3+b^3+3abc\geqq c^3 $$

が成り立つ。

解説

この問題の要点は，(1) では $(a+b)^3$ の展開を素直に使うことである。無理に一般公式を持ち出す必要はない。

一方 (2) では，差

$$ a^3+b^3+3abc-c^3 $$

をそのまま眺めても符号は判定しにくい。そこで因数分解して，

$$ (a+b-c)\times \text{常に }0\text{ 以上の式} $$

の形に直すのが本質である。特に

$$ a^2+b^2+c^2-ab+ac+bc =\frac12{(a-b)^2+(a+c)^2+(b+c)^2} $$

と平方の和にする処理が典型である。

答え

(1) $a+b=c$ のとき，

$$ a^3+b^3+3abc=c^3 $$

が成り立つ。

(2) $a+b\geqq c$ のとき，

$$ a^3+b^3+3abc\geqq c^3 $$

が成り立つ。