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京都大学 1999年理系第5問解説

方針・初手

（1）は、無理数に関する等式証明の定石である「背理法」を用います。適当な項を移項して両辺を2乗し、根号を含む項を減らしていくことで矛盾を導きます。

（2）も「いずれかは無理数である」ことの証明なので、同様に背理法を用います。3つの値がすべて有理数であると仮定し、与えられた2次式に代入して得られる3つの式から実数係数 $a, b$ を消去します。その過程で、（1）で示した関係式を利用できる形を作り出し、矛盾を導くことを目指します。

解法1

(1)

$p + q\sqrt{2} + r\sqrt{3} = 0$ において、これを移項して以下のように変形する。

$$ p + q\sqrt{2} = -r\sqrt{3} $$

両辺を2乗する。

$$ p^2 + 2pq\sqrt{2} + 2q^2 = 3r^2 $$

$$ 2pq\sqrt{2} = 3r^2 - p^2 - 2q^2 $$

$p, q, r$ は有理数であるから、右辺 $3r^2 - p^2 - 2q^2$ も有理数である。ここで $2pq \neq 0$ であると仮定すると、

$$ \sqrt{2} = \frac{3r^2 - p^2 - 2q^2}{2pq} $$

となる。右辺は有理数であるが、$\sqrt{2}$ は無理数であるため、これは矛盾である。したがって $2pq = 0$、すなわち $p = 0$ または $q = 0$ である。

(i)

$p = 0$ のとき元の等式は $q\sqrt{2} + r\sqrt{3} = 0$ となる。これを $q\sqrt{2} = -r\sqrt{3}$ と変形し、両辺を2乗すると、

$$ 2q^2 = 3r^2 $$

ここで $r \neq 0$ と仮定すると、$\left(\frac{q}{r}\right)^2 = \frac{3}{2}$ より $\frac{q}{r} = \pm \frac{\sqrt{6}}{2}$ となる。 $q, r$ は有理数なので $\frac{q}{r}$ は有理数であるが、$\sqrt{6}$ は無理数であるため矛盾する。よって $r = 0$ であり、このとき $q\sqrt{2} = 0$ より $q = 0$ となる。

(ii)

$q = 0$ のとき元の等式は $p + r\sqrt{3} = 0$ となる。ここで $r \neq 0$ と仮定すると、$\sqrt{3} = -\frac{p}{r}$ となる。 $p, r$ は有理数なので右辺は有理数であるが、$\sqrt{3}$ は無理数であるため矛盾する。よって $r = 0$ であり、このとき $p = 0$ となる。

以上（i）, （ii）より、いずれの場合も $p = q = r = 0$ となることが示された。

(2)

$f(1), f(1+\sqrt{2}), f(\sqrt{3})$ がすべて有理数であると仮定し、それぞれを有理数 $A, B, C$ とおく。

$$ \begin{aligned} f(1) &= 1 + a + b = A \quad \cdots ① \\ f(1+\sqrt{2}) &= (1+\sqrt{2})^2 + a(1+\sqrt{2}) + b = 3 + 2\sqrt{2} + a + a\sqrt{2} + b = B \quad \cdots ② \\ f(\sqrt{3}) &= (\sqrt{3})^2 + a\sqrt{3} + b = 3 + a\sqrt{3} + b = C \quad \cdots ③ \end{aligned} $$

①より $b = A - a - 1$ である。これを②に代入する。

$$ 3 + 2\sqrt{2} + a + a\sqrt{2} + A - a - 1 = B $$

$$ 2 + A + (a+2)\sqrt{2} = B $$

$$ (a+2)\sqrt{2} = B - A - 2 $$

$$ a + 2 = \frac{B - A - 2}{2}\sqrt{2} $$

$A, B$ は有理数であるから、$u = \frac{B - A - 2}{2}$ とおくと $u$ は有理数であり、$a = u\sqrt{2} - 2$ と表せる。また、これを $b$ の式に代入すると、

$$ b = A - (u\sqrt{2} - 2) - 1 = A + 1 - u\sqrt{2} $$

となる。これら $a, b$ を③に代入する。

$$ 3 + (u\sqrt{2} - 2)\sqrt{3} + A + 1 - u\sqrt{2} = C $$

$$ 3 + u\sqrt{6} - 2\sqrt{3} + A + 1 - u\sqrt{2} = C $$

$$ u\sqrt{6} = u\sqrt{2} + 2\sqrt{3} + C - A - 4 \quad \cdots ④ $$

$A, C$ は有理数であるから、$v = C - A - 4$ とおくと $v$ は有理数であり、④は以下のように書ける。

$$ u\sqrt{6} = u\sqrt{2} + 2\sqrt{3} + v $$

この式の両辺に $\sqrt{2}$ を掛ける。

$$ u\sqrt{12} = 2u + 2\sqrt{6} + v\sqrt{2} $$

$$ 2u\sqrt{3} = 2u + 2\sqrt{6} + v\sqrt{2} $$

これを $2\sqrt{6}$ について解く。

$$ 2\sqrt{6} = 2u\sqrt{3} - v\sqrt{2} - 2u \quad \cdots ⑤ $$

一方、④の両辺を2倍すると以下のようになる。

$$ 2u\sqrt{6} = 2u\sqrt{2} + 4\sqrt{3} + 2v \quad \cdots ⑥ $$

⑥の左辺に⑤を代入して $\sqrt{6}$ を消去する。

$$ u (2u\sqrt{3} - v\sqrt{2} - 2u) = 2u\sqrt{2} + 4\sqrt{3} + 2v $$

$$ 2u^2\sqrt{3} - uv\sqrt{2} - 2u^2 = 2u\sqrt{2} + 4\sqrt{3} + 2v $$

項を左辺に集めて整理する。

$$ (-2u^2 - 2v) - (uv + 2u)\sqrt{2} + (2u^2 - 4)\sqrt{3} = 0 $$

$u, v$ は有理数であるから、各係数 $-2u^2 - 2v$、$-(uv + 2u)$、$2u^2 - 4$ はすべて有理数である。したがって、（1）で証明した事実が適用でき、各係数はすべて $0$ となる。特に $\sqrt{3}$ の係数について、

$$ 2u^2 - 4 = 0 $$

$$ u^2 = 2 $$

が成り立つ。しかし、$u$ は有理数であり、2乗して $2$ となる有理数は存在しない（$\sqrt{2}$ は無理数であるため）。これは矛盾である。したがって、最初の「すべて有理数である」という仮定は誤りであり、$f(1), f(1+\sqrt{2}), f(\sqrt{3})$ のいずれかは無理数であることが示された。

解説

背理法を利用した無理数の証明における典型的な構成です。（1）の誘導をいかにして（2）で活かすかが最大のポイントとなります。

（2）の計算過程で $u\sqrt{6} = u\sqrt{2} + 2\sqrt{3} + v$ という式が現れた際、そのまま両辺を2乗すると再び $\sqrt{6}$ の項が残り、式が複雑になってしまいます。ここで「両辺に $\sqrt{2}$ を掛けて $\sqrt{6}$ について解き直し、元の式に代入する」という操作を行うことで、鮮やかに $\sqrt{6}$ を消去でき、（1）の仮定の形（$p+q\sqrt{2}+r\sqrt{3}=0$）に帰着させることができます。