方針・初手

$f(x)=x^3$ では、差商

$$ \frac{f(u)-f(v)}{u-v} $$

を具体的に計算すると因数分解しやすい形になる。

（1） では左右の差商をそのまま展開して大小を比較する。

（2） では不等式を分母払いして整理すると、符号判定が $b+x+y$ の符号に帰着する。そこから「すべての $y<x<b$ に対して」成り立つための $b$ の条件を決める。

解法1

(1)

$f(t)=t^3$ であるから、

$$ \frac{f(x)-f(a)}{x-a} ===================== # \frac{x^3-a^3}{x-a} x^2+ax+a^2 $$

であり、同様に

$$ \frac{f(y)-f(x)}{y-x} ===================== # \frac{y^3-x^3}{y-x} y^2+xy+x^2 $$

である。

したがって両者の差は

$$ \left(\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\right) ---------------------------------- # \left(\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\right) y^2+xy+x^2-(x^2+ax+a^2) $$

$$ # y^2+xy-ax-a^2 (y-a)(x+y+a) $$

となる。

ここで $0\le a<x<y$ より $y-a>0$ であり、また $x+y+a>0$ であるから、

$$ (y-a)(x+y+a)>0 $$

である。よって

$$ \frac{f(x)-f(a)}{x-a} < \frac{f(y)-f(x)}{y-x} $$

が成り立つ。

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(2)

与えられた不等式は

$$ x^3> \frac{(x-y)f(b)+(b-x)f(y)}{b-y} \qquad (y<x<b) $$

であり、$f(t)=t^3$ を代入すると

$$ x^3> \frac{(x-y)b^3+(b-x)y^3}{b-y} $$

となる。

$y<x<b$ より $b-y>0$ であるから、両辺に $b-y$ を掛けて

$$ (b-y)x^3-(x-y)b^3-(b-x)y^3>0 $$

を得る。左辺を因数分解すると

$$ (b-y)x^3-(x-y)b^3-(b-x)y^3 ========================== -(b-x)(b-y)(x-y)(b+x+y) $$

である。

したがって不等式は

$$ -(b-x)(b-y)(x-y)(b+x+y)>0 $$

に同値である。

ここで $y<x<b$ より

$$ b-x>0,\qquad b-y>0,\qquad x-y>0 $$

であるから、結局

$$ b+x+y<0 $$

が必要十分である。

よって、与えられた不等式が すべての $y<x<b$ に対して成り立つためには、任意の $y<x<b$ に対して常に $b+x+y<0$ でなければならない。

ここで $b\le 0$ ならば、$x<b,\ y<b$ より

$$ b+x+y< b+b+b = 3b \le 0 $$

であり、しかも $x,y<b$ であるから実際には

$$ b+x+y<0 $$

が成り立つ。したがってこのとき条件を満たす。

逆に $b>0$ とすると、$x,\ y$ をともに $b$ に十分近く取れば $x>0,\ y>0$ となり、

$$ b+x+y>0 $$

となるので不等式は成り立たない。

以上より求める範囲は

$$ b\le 0 $$

である。

解説

（1） は $x^3$ の差商が右へ行くほど大きくなることを、直接計算で示したものである。$x^3$ のような三次式では、差商をそのまま展開すると比較しやすい。

（2） は、点 $(x,f(x))$ が点 $(y,f(y))$ と $(b,f(b))$ を結ぶ線分より上にある条件である。$x^3$ は $t<0$ で上に凸ではなく下に凸、すなわちグラフが弦より上に来る形になるため、結局区間全体が $0$ 以下にあること、すなわち $b\le 0$ が本質である。今回はそれを因数分解で厳密に確かめた。

答え

$$ \frac{f(x)-f(a)}{x-a} < \frac{f(y)-f(x)}{y-x} \qquad (0\le a<x<y) $$

が成り立つ。

また、

$$ f(x)> \frac{(x-y)f(b)+(b-x)f(y)}{b-y} \qquad (y<x<b) $$

がすべての $x,y$ に対して成り立つための $b$ の範囲は

$$ b\le 0 $$

である。