数学2 不等式の証明問題 2 解説

方針・初手

(1) は不等式の証明の基本である「(左辺) - (右辺) > 0」を示す方針、または相加平均と相乗平均の大小関係を利用する方針が考えられる。 (2) は(1)の形とよく似ているため、(1)の結果を利用できないか考える。等差数列の性質である $a_1 + a_4 = a_2 + a_3$ に気づくことが鍵となる。

解法1

(1)

左辺から右辺を引いて計算する。

$$\begin{aligned} \left( \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_4} \right) - \frac{4}{a_1 + a_4} &= \frac{a_1 + a_4}{a_1 a_4} - \frac{4}{a_1 + a_4} \\ &= \frac{(a_1 + a_4)^2 - 4a_1 a_4}{a_1 a_4 (a_1 + a_4)} \\ &= \frac{a_1^2 + 2a_1 a_4 + a_4^2 - 4a_1 a_4}{a_1 a_4 (a_1 + a_4)} \\ &= \frac{(a_1 - a_4)^2}{a_1 a_4 (a_1 + a_4)} \end{aligned}$$

条件より $a > 0, d > 0$ であるため、$a_1 = a > 0$、$a_4 = a+3d > 0$ となる。よって、分母について $a_1 a_4 (a_1 + a_4) > 0$ である。また、$a_1 - a_4 = a - (a+3d) = -3d < 0$ より $a_1 \neq a_4$ なので、分子について $(a_1 - a_4)^2 > 0$ である。したがって、以下の不等式が成り立つ。

$$\left( \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_4} \right) - \frac{4}{a_1 + a_4} > 0$$

すなわち、題意の不等式は示された。

$$\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_4} > \frac{4}{a_1 + a_4}$$

(2)

数列の各項を $a$ と $d$ で表して和を計算する。

$$\begin{aligned} a_1 + a_4 &= a + (a+3d) = 2a+3d \\ a_2 + a_3 &= (a+d) + (a+2d) = 2a+3d \end{aligned}$$

よって、$a_1 + a_4 = a_2 + a_3$ が成り立つ。 (1)の不等式において、$a_1, a_4$ をそれぞれ $a_2, a_3$ に置き換えて考える。 $a > 0, d > 0$ より $a_2 = a+d > 0, a_3 = a+2d > 0$ であり、$a_2 - a_3 = -d \neq 0$ であるから、(1)と全く同様の議論により以下の不等式が成り立つ。

$$\frac{1}{a_2} + \frac{1}{a_3} > \frac{4}{a_2 + a_3}$$

分母の $a_2 + a_3$ を $a_1 + a_4$ に置き換えると、次のようになる。

$$\frac{1}{a_2} + \frac{1}{a_3} > \frac{4}{a_1 + a_4}$$

これと(1)の不等式 $\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_4} > \frac{4}{a_1 + a_4}$ を辺々加える。

$$\left( \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_4} \right) + \left( \frac{1}{a_2} + \frac{1}{a_3} \right) > \frac{4}{a_1 + a_4} + \frac{4}{a_1 + a_4}$$

$$\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \frac{1}{a_3} + \frac{1}{a_4} > \frac{8}{a_1 + a_4}$$

以上により、題意の不等式は示された。

解法2

(1)

証明すべき不等式の両辺に正の数 $a_1 + a_4$ を掛けると、次の不等式と同値になる。

$$\left( \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_4} \right) (a_1 + a_4) > 4$$

これを示せばよい。左辺を展開する。

$$\left( \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_4} \right) (a_1 + a_4) = 1 + \frac{a_4}{a_1} + \frac{a_1}{a_4} + 1 = 2 + \frac{a_4}{a_1} + \frac{a_1}{a_4}$$

$a > 0, d > 0$ より $a_1 > 0, a_4 > 0$ であるから $\frac{a_4}{a_1} > 0, \frac{a_1}{a_4} > 0$ である。相加平均と相乗平均の大小関係より、以下が成り立つ。

$$\frac{a_4}{a_1} + \frac{a_1}{a_4} \ge 2\sqrt{\frac{a_4}{a_1} \cdot \frac{a_1}{a_4}} = 2$$

等号が成立するのは $\frac{a_4}{a_1} = \frac{a_1}{a_4}$、すなわち $a_1^2 = a_4^2$ のときであるが、$a_1 > 0, a_4 > 0$ よりこれは $a_1 = a_4$ を意味する。しかし、$d > 0$ より $a_1 \neq a_4$ であるため等号は成立せず、真の不等式となる。

$$\frac{a_4}{a_1} + \frac{a_1}{a_4} > 2$$

したがって、元の展開式は以下のようになる。

$$\left( \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_4} \right) (a_1 + a_4) = 2 + \frac{a_4}{a_1} + \frac{a_1}{a_4} > 4$$

両辺を正の数 $a_1 + a_4$ で割ることで、題意の不等式が得られる。

$$\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_4} > \frac{4}{a_1 + a_4}$$

（(2)は解法1と同じであるため省略する。）

解説

(1)の不等式は、調和平均と算術平均の大小関係 $\frac{2}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} < \frac{x+y}{2}$ （$x, y > 0, x \neq y$）を変形したものである。 (2)では、前問の結果を活かすことが重要である。等差数列における両端からの和の対称性（$a_1 + a_n = a_2 + a_{n-1} = \cdots$）に着目し、(2)の左辺を $(a_1, a_4)$ の組と $(a_2, a_3)$ の組に分けて評価する発想が求められる。