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九州大学 1977年理系第1問解説

方針・初手

(1) は与えられた式を展開し、因数分解によって積の形に変形することで、各因数の符号から全体の符号を判定する。

(2) は $p$ と $q$ をそれぞれ展開し、$p - q$ を計算する。計算結果を $a, b$ の項、$b, c$ の項、$c, a$ の項に分けて整理することで、(1) の $f(x, y)$ の展開形が現れることに着目する。

解法1

(1)

$f(x, y)$ を展開し、因数分解する。

$$\begin{aligned} f(x, y) &= (x + y)(x^4 + y^4) - (x^2 + y^2)(x^3 + y^3) \\ &= x^5 + xy^4 + x^4y + y^5 - (x^5 + x^2y^3 + x^3y^2 + y^5) \\ &= x^4y + xy^4 - x^3y^2 - x^2y^3 \\ &= xy(x^3 + y^3 - x^2y - xy^2) \\ &= xy \{ x^2(x - y) - y^2(x - y) \} \\ &= xy(x^2 - y^2)(x - y) \\ &= xy(x + y)(x - y)^2 \end{aligned}$$

$x, y$ は異なる正数であるから、$x > 0, y > 0, x \neq y$ である。

ゆえに、$xy > 0, x + y > 0, (x - y)^2 > 0$ となる。

したがって、$f(x, y) > 0$ となり、$f(x, y)$ の値は正数である。

(2)

$p, q$ を展開する。

$$\begin{aligned} p &= (a + b + c)(a^4 + b^4 + c^4) \\ &= a^5 + b^5 + c^5 + a^4b + ab^4 + b^4c + bc^4 + c^4a + ca^4 \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} q &= (a^2 + b^2 + c^2)(a^3 + b^3 + c^3) \\ &= a^5 + b^5 + c^5 + a^3b^2 + a^2b^3 + b^3c^2 + b^2c^3 + c^3a^2 + c^2a^3 \end{aligned}$$

よって、$p - q$ は次のように整理できる。

$$\begin{aligned} p - q &= (a^4b + ab^4 + b^4c + bc^4 + c^4a + ca^4) - (a^3b^2 + a^2b^3 + b^3c^2 + b^2c^3 + c^3a^2 + c^2a^3) \\ &= (a^4b + ab^4 - a^3b^2 - a^2b^3) + (b^4c + bc^4 - b^3c^2 - b^2c^3) + (c^4a + ca^4 - c^3a^2 - c^2a^3) \end{aligned}$$

(1) の展開過程より、$f(x, y) = x^4y + xy^4 - x^3y^2 - x^2y^3$ であるから、

$$\begin{aligned} f(a, b) &= a^4b + ab^4 - a^3b^2 - a^2b^3 \\ f(b, c) &= b^4c + bc^4 - b^3c^2 - b^2c^3 \\ f(c, a) &= c^4a + ca^4 - c^3a^2 - c^2a^3 \end{aligned}$$

と表せる。したがって、

$$p - q = f(a, b) + f(b, c) + f(c, a)$$

となる。

また、$a, b, c$ は相異なる正数であるから、(1) の結果より

$$f(a, b) > 0, \quad f(b, c) > 0, \quad f(c, a) > 0$$

が成り立つ。ゆえに、$p - q > 0$ であり、$p > q$ である。

解説

対称式の展開と因数分解、および不等式の証明を組み合わせた標準的な問題である。(1) では $f(x, y)$ を積の形に直すことで符号を判定する。(2) では $p$ と $q$ の差をとると、同次式の性質から $a, b$ の項、$b, c$ の項、$c, a$ の項にきれいに分離できることに気づくことがポイントである。結果的に (1) で調べた関数 $f$ の和として表されるため、大小関係の判定は容易に導ける。