数学2 不等式の証明問題 33 解説

方針・初手

不等式の証明の基本である「(左辺) - (右辺) $\geqq 0$」を示す方針をとる。 (1) は対称式であるため、平方完成を用いて $(x-y)^2$ のような平方の和の形を作り出すことが定石である。 (2) は直接差をとっても証明可能であるが、(1) の結果をうまく代入して利用することで、見通しよく証明することができる。

解法1

(1)

与式の左辺と右辺の差をとる。

$$\begin{aligned} &(a^2 + b^2 + c^2) - (ab + bc + ca) \\ &= \frac{1}{2} (2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ca) \\ &= \frac{1}{2} \{ (a^2 - 2ab + b^2) + (b^2 - 2bc + c^2) + (c^2 - 2ca + a^2) \} \\ &= \frac{1}{2} \{ (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 \} \end{aligned}$$

$a, b, c$ は実数であるから、$(a-b)^2 \geqq 0$、$(b-c)^2 \geqq 0$、$(c-a)^2 \geqq 0$ である。したがって、

$$\frac{1}{2} \{ (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 \} \geqq 0$$

以上より、

$$a^2 + b^2 + c^2 \geqq ab + bc + ca$$

が成り立つ。等号が成り立つのは、$(a-b)^2 = 0$ かつ $(b-c)^2 = 0$ かつ $(c-a)^2 = 0$ のときである。すなわち、$a=b$ かつ $b=c$ かつ $c=a$ より、$a=b=c$ のときである。

(2)

(1) で証明した不等式 $x^2 + y^2 + z^2 \geqq xy + yz + zx$ を利用する。この不等式に $x=a^2, y=b^2, z=c^2$ を代入すると、

$$(a^2)^2 + (b^2)^2 + (c^2)^2 \geqq a^2 b^2 + b^2 c^2 + c^2 a^2$$

すなわち、

$$a^4 + b^4 + c^4 \geqq a^2 b^2 + b^2 c^2 + c^2 a^2$$

となる。次に、(1) の不等式に $x=ab, y=bc, z=ca$ を代入すると、

$$(ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2 \geqq (ab)(bc) + (bc)(ca) + (ca)(ab)$$

すなわち、

$$a^2 b^2 + b^2 c^2 + c^2 a^2 \geqq ab^2 c + a b c^2 + a^2 b c$$

右辺を $abc$ でくくると、

$$a^2 b^2 + b^2 c^2 + c^2 a^2 \geqq abc(a + b + c)$$

となる。得られた2つの不等式をつなげると、

$$a^4 + b^4 + c^4 \geqq a^2 b^2 + b^2 c^2 + c^2 a^2 \geqq abc(a + b + c)$$

となり、

$$a^4 + b^4 + c^4 \geqq abc(a + b + c)$$

が示された。等号が成り立つのは、利用した2つの不等式の等号が同時に成り立つときである。すなわち、$a^2=b^2=c^2$ かつ $ab=bc=ca$ が成り立つときである。 $a^2=b^2=c^2$ より $|a|=|b|=|c|$ であり、$ab=bc=ca$ であるから、符号もすべて等しくなる。したがって、等号成立条件は $a=b=c$ のときである。

解説

(1) の式変形 $a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = \frac{1}{2} \{ (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 \}$ は、対称式を扱う上で頻出の重要な恒等式である。直ちにこの変形が思い浮かぶようにしておきたい。 (2) は前問の結果を利用する誘導問題の典型である。直接 $(a^4+b^4+c^4) - abc(a+b+c) \geqq 0$ を示そうとすると計算がやや複雑になるが、(1) の不等式の変数を適切に置き換えることで、簡潔に証明できる。等号成立条件は、使用したすべての不等式で等号が成立する条件の共通部分をとることに注意する。