数学2 多項式の割り算問題 1 解説

方針・初手

与えられた4次式が $x^2 - 2x + 1$ で割り切れるための条件を求める。割る式が $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$ と完全平方式になることが最大のポイントである。 $(x-1)^2$ で割り切れるための処理として、以下のいずれかのアプローチが有効である。

商を文字で置いて恒等式として係数比較する。
$f(x)$ が $(x-\alpha)^2$ で割り切れる $\iff f(\alpha)=0$ かつ $f'(\alpha)=0$ （微分の利用）を用いる。
組み立て除法を用いて、$x-1$ で2回連続して割ったときの余りをそれぞれ $0$ とする。

どの解法でも容易に正解にたどり着けるため、自分が最も計算ミスをしにくい方法を選びたい。

解法1

$x^4 + ax^3 + ax^2 + bx - 6$ が $x^2 - 2x + 1$ で割り切れるとする。割られる式の最高次が $x^4$ で定数項が $-6$ であり、割る式の最高次が $x^2$ で定数項が $1$ であることから、商は $x^2 + cx - 6$ （$c$ は実数の定数）とおくことができる。したがって、次の等式が $x$ についての恒等式となる。

$$x^4 + ax^3 + ax^2 + bx - 6 = (x^2 - 2x + 1)(x^2 + cx - 6)$$

右辺を展開して $x$ について降べきの順に整理する。

$$\begin{aligned} (右辺) &= x^2(x^2 + cx - 6) - 2x(x^2 + cx - 6) + 1 \cdot (x^2 + cx - 6) \\ &= x^4 + cx^3 - 6x^2 - 2x^3 - 2cx^2 + 12x + x^2 + cx - 6 \\ &= x^4 + (c - 2)x^3 + (-2c - 5)x^2 + (c + 12)x - 6 \end{aligned}$$

両辺の同じ次数の項の係数を比較して、以下の連立方程式を得る。

$$\begin{cases} a = c - 2 \\ a = -2c - 5 \\ b = c + 12 \end{cases}$$

第1式と第2式より $a$ を消去すると、

$$c - 2 = -2c - 5$$

$$3c = -3$$

$$c = -1$$

これを第1式に代入して、

$$a = -1 - 2 = -3$$

第3式に代入して、

$$b = -1 + 12 = 11$$

解法2

$P(x) = x^4 + ax^3 + ax^2 + bx - 6$ とおく。割る式は $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$ である。 $P(x)$ が $(x - 1)^2$ で割り切れるための必要十分条件は、$P(1) = 0$ かつ $P'(1) = 0$ が成り立つことである。

まず、$P(1) = 0$ より、

$$1^4 + a \cdot 1^3 + a \cdot 1^2 + b \cdot 1 - 6 = 0$$

$$2a + b - 5 = 0$$

$$2a + b = 5 \cdots (1)$$

次に、$P(x)$ を $x$ について微分すると、

$$P'(x) = 4x^3 + 3ax^2 + 2ax + b$$

$P'(1) = 0$ より、

$$4 \cdot 1^3 + 3a \cdot 1^2 + 2a \cdot 1 + b = 0$$

$$5a + b + 4 = 0$$

$$5a + b = -4 \cdots (2)$$

(1), (2)の連立方程式を解く。(2)から(1)を辺々引くと、

$$3a = -9$$

$$a = -3$$

これを(1)に代入して、

$$2(-3) + b = 5$$

$$b = 11$$

解法3

整式 $P(x) = x^4 + ax^3 + ax^2 + bx - 6$ が $x^2 - 2x + 1$、すなわち $(x-1)^2$ で割り切れるということは、$P(x)$ が $x-1$ で割り切れ、さらにその商も $x-1$ で割り切れるということである。組立除法を用いて、$x-1$ で2回割ったときの余りがともに $0$ になる条件を求める。

1回目：$P(x)$ を $x-1$ で割る。

$$\begin{array}{r|rrrrrr} 1 & 1 & a & a & b & -6 \\ & & 1 & a+1 & 2a+1 & 2a+b+1 \\ \hline & 1 & a+1 & 2a+1 & 2a+b+1 & 2a+b-5 \end{array}$$

余りは $0$ となるので、

$$2a + b - 5 = 0 \cdots (1)$$

2回目：1回目の商 $x^3 + (a+1)x^2 + (2a+1)x + 2a+b+1$ をさらに $x-1$ で割る。

$$\begin{array}{r|rrrrrr} 1 & 1 & a+1 & 2a+1 & 2a+b+1 \\ & & 1 & a+2 & 3a+3 \\ \hline & 1 & a+2 & 3a+3 & 5a+b+4 \end{array}$$

商も $x-1$ で割り切れるので、この余りも $0$ となる。

$$5a + b + 4 = 0 \cdots (2)$$

(1)より $b = -2a + 5$。これを(2)に代入して、

$$5a + (-2a + 5) + 4 = 0$$

$$3a + 9 = 0$$

$$a = -3$$

このとき $b = -2(-3) + 5 = 11$ となる。

解説

2次式以上の完全平方式で割る問題の典型的な解法を問う基本問題である。解法1のように商を予想して係数比較する方法は、本問のように割られる式と割る式の最高次や定数項が明確に分かっている場合に特に威力を発揮する。未知数の設定を最小限に抑えられ、連立方程式も単純になるため計算ミスを防ぎやすい。解法2の微分を用いたアプローチは汎用性が高く、整式の次数がどれだけ大きくなっても（例えば $x^{100}$ のような式が含まれていても）同様の手順で容易に処理できる利点がある。解法3の組立除法を繰り返す方法は、手順が機械的で分かりやすいが、文字が含まれる式の足し算・掛け算が連続するため、符号ミスなどに注意を払う必要がある。