数学2 多項式の割り算問題 2 解説

方針・初手

整式の割り算を実行する。次数の高い項から順に、割る式である $2x+1$ を作り出してくくり出していく式変形による方法と、係数のみを取り出して計算を簡略化する組立除法を用いた方法が考えられる。

解法1

割られる式を変形して、割る式 $2x+1$ を順次くくり出すように計算を進める。

$$\begin{aligned} 2x^4 + 7x^3 + 3x^2 + 2x - 6 &= x^3(2x + 1) + 6x^3 + 3x^2 + 2x - 6 \\ &= x^3(2x + 1) + 3x^2(2x + 1) + 2x - 6 \\ &= x^3(2x + 1) + 3x^2(2x + 1) + 1(2x + 1) - 7 \\ &= (2x + 1)(x^3 + 3x^2 + 1) - 7 \end{aligned}$$

この等式は、整式 $2x^4 + 7x^3 + 3x^2 + 2x - 6$ を $2x+1$ で割ったときの商が $x^3 + 3x^2 + 1$、余りが $-7$ であることを示している。

解法2

組立除法を用いる。 $2x+1 = 2 \left( x + \frac{1}{2} \right)$ であるため、まず整式 $2x^4 + 7x^3 + 3x^2 + 2x - 6$ を $x + \frac{1}{2}$ で割る計算を組立除法で行う。

$$\begin{array}{c|rrrrr} -\frac{1}{2} & 2 & 7 & 3 & 2 & -6 \\ & & -1 & -3 & 0 & -1 \\ \hline & 2 & 6 & 0 & 2 & -7 \end{array}$$

組立除法の結果より、以下の恒等式が得られる。

$$2x^4 + 7x^3 + 3x^2 + 2x - 6 = \left( x + \frac{1}{2} \right) (2x^3 + 6x^2 + 2) - 7$$

右辺を変形して割る式である $2x+1$ を作り出す。

$$\begin{aligned} \left( x + \frac{1}{2} \right) (2x^3 + 6x^2 + 2) - 7 &= \left( x + \frac{1}{2} \right) \cdot 2(x^3 + 3x^2 + 1) - 7 \\ &= (2x + 1)(x^3 + 3x^2 + 1) - 7 \end{aligned}$$

したがって、求める商は $x^3 + 3x^2 + 1$、余りは $-7$ である。

解説

多項式の除法の基本問題である。通常の筆算を実行してもよいが、解法1のように式変形を利用すると計算スペースを節約できる。

また、1次式で割る場合は解法2の組立除法が非常に有効である。ただし、$ax+b \ (a \neq 1)$ で割る際に組立除法を用いる場合は、商の扱いに注意が必要である。組立除法で得られる商の係数は、あくまで $x + \frac{b}{a}$ で割ったときの商に対応しているため、本来求める商を得るためには各項の係数を $a$ で割る必要がある。なお、余りの値は変化しない点も併せて押さえておきたい。