数学2 多項式の割り算問題 5 解説

方針・初手

整式の割り算における基本公式 $A = BQ + R$ （$R$ の次数は $B$ の次数より小さい）を利用する。本問では、割る式が $x^2+x+1$ と2次式であるため、余りは1次以下の整式となる。また、整式の割り算の性質（剰余）に注目して式変形を行う方法と、$x^2+x+1=0$ の虚数解を代入して複素数の相等を用いる方法が考えられる。

解法1

整式 $f(x)$ を $x^2+x+1$ で割った商を $Q(x)$ とすると、余りが $2x-1$ であるから、次のように表せる。

$$f(x) = (x^2+x+1)Q(x) + 2x-1$$

(1)

$\{f(x)\}^2$ を計算する。

$$\begin{aligned} \{f(x)\}^2 &= \{ (x^2+x+1)Q(x) + (2x-1) \}^2 \\ &= (x^2+x+1)^2 \{Q(x)\}^2 + 2(x^2+x+1)Q(x)(2x-1) + (2x-1)^2 \\ &= (x^2+x+1) [ (x^2+x+1)\{Q(x)\}^2 + 2Q(x)(2x-1) ] + 4x^2-4x+1 \end{aligned}$$

ここで、$4x^2-4x+1$ を $x^2+x+1$ で割ると、

$$4x^2-4x+1 = 4(x^2+x+1) - 8x - 3$$

となる。したがって、

$$\{f(x)\}^2 = (x^2+x+1) [ (x^2+x+1)\{Q(x)\}^2 + 2Q(x)(2x-1) + 4 ] - 8x - 3$$

と変形できる。$[ \quad ]$ 内は整式であるから、$\{f(x)\}^2$ を $x^2+x+1$ で割った余りは $-8x-3$ である。

(2)

(1)の計算結果から、$\{f(x)\}^2 + a f(x) + b$ は次のように変形できる。

$$\begin{aligned} &\{f(x)\}^2 + a f(x) + b \\ &= (x^2+x+1)(\text{整式}) - 8x - 3 + a \{ (x^2+x+1)Q(x) + 2x-1 \} + b \\ &= (x^2+x+1)(\text{別の整式}) - 8x - 3 + a(2x-1) + b \\ &= (x^2+x+1)(\text{別の整式}) + (2a-8)x - a + b - 3 \end{aligned}$$

この式が $x^2+x+1$ で割り切れるための条件は、余りとなる1次以下の部分が恒等的に $0$ となることである。

$$(2a-8)x - a + b - 3 = 0$$

これが $x$ についての恒等式となるため、

$$\begin{cases} 2a - 8 = 0 \\ -a + b - 3 = 0 \end{cases}$$

これを解いて、$a = 4, b = 7$ を得る。

解法2

$x^2+x+1 = 0$ の虚数解の1つを $\omega$ とおく。$\omega$ は $\omega^2+\omega+1=0$ を満たす。また、$f(x)$ を $x^2+x+1$ で割った商を $Q(x)$ とすると、

$$f(x) = (x^2+x+1)Q(x) + 2x-1$$

であり、両辺に $x=\omega$ を代入すると、

$$f(\omega) = 2\omega - 1$$

となる。

(1)

$\{f(x)\}^2$ を $x^2+x+1$ で割った商を $P(x)$、余りを $cx+d$ （$c, d$ は実数）とおく。

$$\{f(x)\}^2 = (x^2+x+1)P(x) + cx+d$$

両辺に $x=\omega$ を代入すると、

$$\{f(\omega)\}^2 = c\omega + d$$

左辺を計算すると、$\omega^2 = -\omega-1$ を用いて、

$$\begin{aligned} \{f(\omega)\}^2 &= (2\omega-1)^2 \\ &= 4\omega^2 - 4\omega + 1 \\ &= 4(-\omega-1) - 4\omega + 1 \\ &= -8\omega - 3 \end{aligned}$$

よって、$-8\omega - 3 = c\omega + d$ すなわち $(c+8)\omega + d+3 = 0$ となる。 $c, d$ は実数であり、$\omega$ は虚数であるから、

$$\begin{cases} c + 8 = 0 \\ d + 3 = 0 \end{cases}$$

これを解いて、$c = -8, d = -3$。したがって、求める余りは $-8x-3$ である。

(2)

$\{f(x)\}^2 + a f(x) + b$ が $x^2+x+1$ で割り切れるとき、商を $R(x)$ とおくと、

$$\{f(x)\}^2 + a f(x) + b = (x^2+x+1)R(x)$$

両辺に $x=\omega$ を代入すると、

$$\{f(\omega)\}^2 + a f(\omega) + b = 0$$

(1)より $\{f(\omega)\}^2 = -8\omega - 3$ であり、$f(\omega) = 2\omega - 1$ であるから代入すると、

$$\begin{aligned} (-8\omega - 3) + a(2\omega - 1) + b &= 0 \\ (2a - 8)\omega - a + b - 3 &= 0 \end{aligned}$$

$a, b$ は実数であり、$\omega$ は虚数であるから、

$$\begin{cases} 2a - 8 = 0 \\ -a + b - 3 = 0 \end{cases}$$

これを解いて、$a = 4, b = 7$ を得る。

解説

整式の割り算において、「$A$ を $B$ で割った余り」と「$A$ の一部を $B$ で割った余り」の性質を利用する問題である。具体的には、$f(x)$ の余りが判明している場合、$f(x)$ を含む多項式を割った余りは、$f(x)$ をその余りに置き換えてから再度割ることで求められる。解法1はこの性質を式変形で示したものであり、解法2は $x^2+x+1=0$ の解である $\omega$（1の虚数立方根）を代入することで、余りの部分だけを取り出す手法である。どちらも頻出の定石なので確実に押さえておきたい。