数学2 多項式の割り算問題 4 解説

方針・初手

2つの多項式を $f(x)$ で割った余りが等しいという条件は、2つの多項式の差が $f(x)$ で割り切れることと同値である。これを利用して $a$ の値を求めるのが計算量も少なく効率的である。もちろん、実際に割り算を行って余りの係数を比較してもよい。後半は、剰余の定理と恒等式の性質を用いて高次式の割り算の余りを求める典型的な処理を行う。

解法1

$P(x) = x^3 - x^2 - x + 1$、$Q(x) = x^2 - 2x + 1$ とおく。

$P(x)$ と $Q(x)$ をそれぞれ $f(x)$ で割った余りが等しいとき、その差 $P(x) - Q(x)$ は $f(x)$ で割り切れる。

$$\begin{aligned} P(x) - Q(x) &= (x^3 - x^2 - x + 1) - (x^2 - 2x + 1) \\ &= x^3 - 2x^2 + x \\ &= x(x^2 - 2x + 1) \\ &= x(x-1)^2 \end{aligned}$$

また、$f(x) = x^2 + ax = x(x+a)$ である。

多項式 $x(x-1)^2$ が $x(x+a)$ で割り切れるためには、$x$ で割った商である $(x-1)^2$ が $x+a$ で割り切れる必要がある。因数定理より、$(x-1)^2$ に $x = -a$ を代入した値が $0$ となる。

$$(-a-1)^2 = 0$$

これより $a = -1$ を得る。

したがって、$f(x) = x^2 - x$ である。

次に、$(x^3 - x^2 - x + 1)^3 = \{P(x)\}^3$ を $f(x) = x(x-1)$ で割った余りを求める。

割る式が2次式であるから、求める余りは1次以下の多項式であり、$cx + d$ （$c, d$ は実数の定数）とおける。商を $S(x)$ とすると、次のような恒等式が成り立つ。

$$\{P(x)\}^3 = x(x-1)S(x) + cx + d$$

ここで、$P(x) = x^3 - x^2 - x + 1$ について、$x = 0$ と $x = 1$ を代入した値をあらかじめ求めておく。

$$\begin{aligned} P(0) &= 1 \\ P(1) &= 1 - 1 - 1 + 1 = 0 \end{aligned}$$

先の恒等式に $x = 0$ と $x = 1$ をそれぞれ代入する。

$x = 0$ のとき

$$\{P(0)\}^3 = d \implies 1^3 = d \implies d = 1$$

$x = 1$ のとき

$$\{P(1)\}^3 = c + d \implies 0^3 = c + 1 \implies c = -1$$

以上より、求める余りは $-x + 1$ である。

解法2

$x^3 - x^2 - x + 1$ を $f(x) = x^2 + ax$ で割る。

$$x^3 - x^2 - x + 1 = (x^2 + ax)(x - a - 1) + (a^2 + a - 1)x + 1$$

よって、余りは $(a^2 + a - 1)x + 1$ である。

また、$x^2 - 2x + 1$ を $f(x) = x^2 + ax$ で割る。

$$x^2 - 2x + 1 = (x^2 + ax) \cdot 1 - (a+2)x + 1$$

よって、余りは $-(a+2)x + 1$ である。

これら2つの余りが等しいので、それぞれの1次の項の係数を比較する。

$$a^2 + a - 1 = -a - 2$$

これを整理すると

$$\begin{aligned} a^2 + 2a + 1 &= 0 \\ (a+1)^2 &= 0 \end{aligned}$$

したがって、$a = -1$ となり、$f(x) = x^2 - x$ を得る。

後半の余りの導出は解法1と同様であるため省略する。

解説

「余りが等しい」という条件を「差が割り切れる」と言い換えることで、直接割り算を実行する手間を省き、因数分解による見通しの良い処理が可能になる。この発想は多項式の剰余問題で頻出のテクニックである。

後半の剰余を求める問題では、高次式を直接展開するのではなく、割る式 $f(x) = x(x-1)$ が $x=0, 1$ を解に持つことに着目し、恒等式への数値代入を利用するのが定石である。左辺が累乗の形をしていても、代入する値 $P(0), P(1)$ を計算すれば容易に連立方程式に帰着させることができる。