数学2 多項式の割り算 問題 13 解説

方針・初手

整式が1次式で割り切れる条件は、因数定理を用いることである。また、2次式で割ったときの余りは1次以下の整式となるため、$px+q$ とおいて剰余の定理（あるいは恒等式の性質）を適用する。

解法1

(1)

整式 $f(x)$ が $x+1$ で割り切れるための必要十分条件は、因数定理より $f(-1) = 0$ となることである。 $f(x) = x^n + 2x^{n-1} - a$ に $x = -1$ を代入すると、

$$f(-1) = (-1)^n + 2(-1)^{n-1} - a = 0$$

ここで、$(-1)^n = (-1) \cdot (-1)^{n-1} = -(-1)^{n-1}$ であるから、

$$-(-1)^{n-1} + 2(-1)^{n-1} - a = 0$$

$$(-1)^{n-1} - a = 0$$

よって、求める定数 $a$ の値は、

$$a = (-1)^{n-1}$$

(2)

$f(x)$ を2次式 $x^2-1$ で割ったときの商を $Q(x)$、余りを $px+q$ （$p, q$ は定数）とおく。 $x^2-1 = (x+1)(x-1)$ であるから、次の恒等式が成り立つ。

$$f(x) = (x+1)(x-1)Q(x) + px + q$$

(1) より $f(-1) = 0$ であるから、両辺に $x = -1$ を代入して、

$$f(-1) = -p + q = 0$$

すなわち、$q = p$ である。 次に、$x=1$ を代入すると、

$$f(1) = p + q = 2p$$

一方で、(1) の結果より $f(x) = x^n + 2x^{n-1} - (-1)^{n-1}$ であるから、元の整式に $x=1$ を代入すると、

$$f(1) = 1^n + 2 \cdot 1^{n-1} - (-1)^{n-1} = 3 - (-1)^{n-1}$$

これらが等しいので、

$$2p = 3 - (-1)^{n-1}$$

$$p = \frac{3 - (-1)^{n-1}}{2}$$

$q=p$ より、

$$q = \frac{3 - (-1)^{n-1}}{2}$$

したがって、求める余りは、

$$\frac{3 - (-1)^{n-1}}{2} x + \frac{3 - (-1)^{n-1}}{2}$$

解説

整式の割り算に関する基本的な問題である。 (1) は因数定理を適用するだけで求まる。(2) は剰余の定理を用いる定石パターンである。割る式が2次式なので余りを $px+q$ と設定し、因数分解された割る式が $0$ になるような値（$x=1, -1$）を代入して連立方程式を解けばよい。

$(-1)^n$ の処理について、$n$ の偶奇で場合分けをして求めてもよいが、本解法のように指数法則を用いてそのまま計算した方が記述が簡潔になる。場合分けをした場合の答えは、以下のようになる。

• $n$ が奇数のとき: (1) $a=1$、(2) 余りは $x+1$
• $n$ が偶数のとき: (1) $a=-1$、(2) 余りは $2x+2$

答え

(1) $a = (-1)^{n-1}$

(2) $\frac{3 - (-1)^{n-1}}{2} x + \frac{3 - (-1)^{n-1}}{2}$