数学2 多項式の割り算問題 12 解説

方針・初手

整式を3次式 $(x-1)(x+1)^2$ で割るため、求める余りは2次以下の整式である。余りを $ax^2+bx+c$ とおいて3つの文字を連立方程式で求めることもできるが、条件の一部である「$(x+1)^2$ で割ったときの余りが $x-8$」を直接利用して、求める余りを $a(x+1)^2 + x - 8$ とおくことで、未知数を1つに減らすのが定石である。

解法1

整式 $P$ を $(x-1)(x+1)^2$ で割ったときの商を $Q(x)$ とし、余りを $R(x)$ とおく。割る式が3次式なので、余り $R(x)$ は2次以下の整式である。

ここで、$P$ を $(x+1)^2$ で割った余りが $x-8$ であるという条件に着目する。 $(x-1)(x+1)^2 Q(x)$ の部分は $(x+1)^2$ で割り切れるため、余り $R(x)$ を $(x+1)^2$ で割ったときの余りが $x-8$ にならなければならない。したがって、$a$ を定数として、$R(x)$ は次のように表せる。

$$R(x) = a(x+1)^2 + x - 8$$

これより、整式 $P$ は次のように書ける。

$$P = (x-1)(x+1)^2 Q(x) + a(x+1)^2 + x - 8$$

また、剰余の定理より、$P$ を $x-1$ で割った余りが $5$ であるから、以下の等式が成り立つ。

$$P(1) = 5$$

先ほどの $P$ の式に $x=1$ を代入すると、

$$P(1) = (1-1)(1+1)^2 Q(1) + a(1+1)^2 + 1 - 8 = 4a - 7$$

これが $5$ と等しいので、

$$4a - 7 = 5$$

$$4a = 12$$

$$a = 3$$

したがって、求める余りは

$$R(x) = 3(x+1)^2 + x - 8 = 3(x^2 + 2x + 1) + x - 8 = 3x^2 + 7x - 5$$

となる。

解法2

整式 $P$ を $(x-1)(x+1)^2$ で割ったときの商を $Q(x)$ とし、余りを $ax^2+bx+c$ （$a, b, c$ は定数）とおく。

$$P = (x-1)(x+1)^2 Q(x) + ax^2 + bx + c \cdots \text{①}$$

剰余の定理より、$P$ を $x-1$ で割った余りが $5$ であるから $P(1) = 5$ である。 ①に $x=1$ を代入すると、

$$a + b + c = 5 \cdots \text{②}$$

次に、$P$ を $(x+1)^2$ すなわち $x^2+2x+1$ で割ったときの余りが $x-8$ であるという条件を用いる。 ①の右辺の第1項 $(x-1)(x+1)^2 Q(x)$ は $(x+1)^2$ で割り切れるので、$ax^2+bx+c$ を $x^2+2x+1$ で割ったときの余りが $x-8$ となる。

$ax^2+bx+c$ を $x^2+2x+1$ で割ると、商は $a$ であり、

$$ax^2+bx+c = a(x^2+2x+1) + (b-2a)x + c-a$$

となる。この余りが $x-8$ に恒等的に等しいので、係数を比較して、

$$b - 2a = 1 \cdots \text{③}$$

$$c - a = -8 \cdots \text{④}$$

③より $b = 2a + 1$、④より $c = a - 8$ となる。これらを②に代入して、

$$a + (2a + 1) + (a - 8) = 5$$

$$4a - 7 = 5$$

$$4a = 12$$

$$a = 3$$

$a=3$ を代入して、$b$ と $c$ を求める。

$$b = 2 \cdot 3 + 1 = 7$$

$$c = 3 - 8 = -5$$

したがって、求める余りは $3x^2 + 7x - 5$ である。

解説

整式の割り算における非常に典型的な問題である。「2次式で割った余り」の情報から、求める「3次式で割った余り」を $a(x-\alpha)^2 + px + q$ の形に設定できるかどうかが問われている。解法2のように余りを $ax^2+bx+c$ とおいても解くことは可能であるが、恒等式の係数比較の計算量が増えるため、解法1の手法を定石として身につけておくべきである。