数学2 多項式の割り算 問題 15 解説

方針・初手

割り算の基本公式である「(割られる式) = (割る式) × (商) + (余り)」を用いて恒等式を立てる。さらに、「割る式は余りより次数が大きくなければならない」という条件から、多項式 $A$ の次数を絞り込むことが解決の糸口となる。

解法1

多項式の割り算の性質より、以下の等式が成り立つ。

$$4x^3 - 2x^2 - 9x + 7 = A B + (x + 1)$$

これを整理すると、積 $AB$ についての式が得られる。

$$AB = 4x^3 - 2x^2 - 10x + 6$$

問題の条件より、$A$ で割ったときの余りが $x+1$ （1次式）であるから、割る式 $A$ は2次以上の多項式である。 ここで、$A$ と $B$ の和について、以下の条件が与えられている。

$$A + B = 2x^2 + 4x - 5$$

もし $A$ の次数が3次以上であるとすると、和の条件から $B$ の次数も3次以上となり（最高次の項が打ち消し合う場合でも、積 $AB$ の次数は3次にはならない）、積 $AB$ が3次式であることに矛盾する。 したがって、$A$ は2次式である。和が2次式であることから $B$ は2次以下の式となるが、積 $AB$ が3次式であるため、$B$ は1次式でなければならない。

和の式の2次の項が $2x^2$ であり、$B$ が1次式であるため、$A$ の2次の項は $2x^2$ となる。 そこで、$A = 2x^2 + ax + b$ （$a, b$ は定数）とおく。 このとき、和の条件より $B$ は次のように表される。

$$B = (2x^2 + 4x - 5) - (2x^2 + ax + b) = (4-a)x - (5+b)$$

これらを積の式に代入すると、以下の恒等式を得る。

$$(2x^2 + ax + b) \{(4-a)x - (5+b)\} = 4x^3 - 2x^2 - 10x + 6$$

左辺を展開し、各次数の係数を比較する。 まず $x^3$ の係数を比較すると、

$$2(4-a) = 4$$

これを解いて $a = 2$ を得る。 次に $x^2$ の係数を比較する。左辺の $x^2$ の項は $2x^2 \cdot \{-(5+b)\} + ax \cdot (4-a)x$ より展開されるため、

$$-2(5+b) + a(4-a) = -2$$

ここに $a = 2$ を代入すると、

$$-10 - 2b + 4 = -2$$

$$-2b = 4$$

これより $b = -2$ を得る。 求めた $a=2, b=-2$ をもとに、他の係数も矛盾がないか確認する。 $x$ の係数について、左辺は $-a(5+b) + b(4-a) = -2(3) + (-2)(2) = -10$ となり、右辺と一致する。 定数項について、左辺は $-b(5+b) = -(-2)(3) = 6$ となり、こちらも右辺と一致する。

よって、$A = 2x^2 + 2x - 2$ であり、このとき $B = 2x - 3$ となる。

解法2

多項式の割り算の性質から得られた積の式を因数分解する。

$$AB = 4x^3 - 2x^2 - 10x + 6 = 2(2x^3 - x^2 - 5x + 3)$$

ここで、$P(x) = 2x^3 - x^2 - 5x + 3$ とおく。 因数定理を用いて $P(x) = 0$ となる $x$ を探すと、$P\left(\frac{3}{2}\right) = 2 \cdot \frac{27}{8} - \frac{9}{4} - \frac{15}{2} + 3 = 0$ となるため、$P(x)$ は $2x-3$ を因数にもつ。 割り算を実行して因数分解すると、

$$P(x) = (2x - 3)(x^2 + x - 1)$$

となる。したがって、積 $AB$ は次のように表される。

$$AB = 2(2x - 3)(x^2 + x - 1) = (2x - 3)(2x^2 + 2x - 2)$$

一方、$A$ と $B$ の和は条件より以下の通りである。

$$A + B = 2x^2 + 4x - 5$$

先ほど得られた因数 $2x - 3$ と $2x^2 + 2x - 2$ について和を計算すると、

$$(2x - 3) + (2x^2 + 2x - 2) = 2x^2 + 4x - 5$$

となり、問題の条件と完全に一致する。 したがって、$A$ と $B$ は $2x - 3$ と $2x^2 + 2x - 2$ の組み合わせであることがわかる。

さらに、$A$ で割ったときの余りが $x+1$ （1次式）であることから、割る式 $A$ の次数は余りの次数より大きく、2次以上でなければならない。 よって、2次式である方が $A$ と決まる。

$$A = 2x^2 + 2x - 2$$

$$B = 2x - 3$$

解説

整式の割り算における恒等式 $P = AQ + R$ を正しく立てられるかが第一歩である。 さらに「余りの次数は割る式の次数より小さい」という原則から、$\deg(A) > \deg(R)$ を導き出すことが重要である。本問では余りが1次式であるため、$A$ が2次以上の式であると決定できる。 解法1のように次数を決定して未定係数法に持ち込むアプローチは、どのような問題でも通用する汎用性の高い方法である。解法2のように因数分解と和の形から直接見抜く方法は計算量が少なく済むが、因数定理で分数の解を見つける計算力が要求される。

答え

$A = 2x^2 + 2x - 2$

$B = 2x - 3$