数学2 多項式の割り算問題 16 解説

方針・初手

剰余の定理を利用して、$f(1)$ と $f(2)$ の値をそれぞれ与えられた条件から求める。求める余りは2次式 $(x-1)(x-2)$ で割った余りであるから、1次以下の整式 $px+q$ とおいて $f(1)$ と $f(2)$ の値を代入し、連立方程式を解く。

解法1

$f(x)$ を $(x-1)^3$ で割ったときの商を $Q_1(x)$ とすると、余りが $ax^2+bx+c$ であるから、

$$f(x) = (x-1)^3 Q_1(x) + ax^2+bx+c$$

と表せる。この式に $x=1$ を代入すると、

$$f(1) = a+b+c$$

となる。

次に、$f(x)$ を $x-2$ で割ったときの余りが $d$ であるから、剰余の定理より、

$$f(2) = d$$

である。

さて、$f(x)$ を2次式 $(x-1)(x-2)$ で割ったときの商を $Q(x)$、余りを $px+q$ （$p, q$ は定数）とおくと、

$$f(x) = (x-1)(x-2)Q(x) + px+q$$

と表せる。

この式に $x=1, x=2$ をそれぞれ代入すると、

$$\begin{cases} f(1) = p+q \\ f(2) = 2p+q \end{cases}$$

となる。先ほど求めた $f(1)$ と $f(2)$ の値を代入すると、次の連立方程式が得られる。

$$\begin{cases} p+q = a+b+c \\ 2p+q = d \end{cases}$$

下式から上式を引くと、

$$p = d - (a+b+c) = -a-b-c+d$$

これを上式に代入して $q$ を求めると、

$$q = (a+b+c) - p = a+b+c - (-a-b-c+d) = 2a+2b+2c-d$$

したがって、求める余りは

$$(-a-b-c+d)x + 2a+2b+2c-d$$

となる。

解説

2次式で割った余りを求める典型的な問題である。割る式が $(x-\alpha)(x-\beta)$ と因数分解できるため、余りを $px+q$ とおき、剰余の定理から $f(\alpha)$ と $f(\beta)$ の値を求めて連立方程式を解くのが基本方針となる。本問では、$(x-1)^3$ で割った余りが与えられているが、必要なのは $f(1)$ の値のみである。余計な情報に惑わされず、解答に必要な情報だけを抽出できるかが問われている。